17.4 一元二次方程的根与系数关系 课件 2022--2023学年沪科版八年级下册数学

根与系数的关系 知识梳理 1 根与系数的关系(韦达定理)的推导: 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2, ax2+bx+c =a(x-x1)(x-x2) =ax2-a(x1+x2)x+ax1x2 -a(x1+x2)=b ax1x2=c 根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当Δ=b2-4ac≥0时,有两个实数根, 2 根 系数 ①当a、c异号时 方程正根的绝对值大 不解方程ax2+bx+c=0(a≠0) ,判断根的正、负性. 若a、b异号 >0 x1+x2>0 即 <0时, x1·x2<0,两根必异号 若a、b同号 <0 x1+x2<0 方程负根的绝对值大 若b=0 = 0 x1+x2= 0 方程两根互 为相反数 ②当a、c同号时 即 >0时, x1·x2>0,两根必同号 若a、b同号 <0 x1+x2<0 方程两根 均为负实数 若b=0 = 0 x1+x2= 0 方程两根均为0 方程两根 均为正实数 若a、b异号 >0 x1+x2>0 3 不解方程,判断方程2x2+31x-7=0的两个根的符号_. 引例1 一正一负 由根系关系 因为 ,所以两个根为一正一负. a>0,c>0,b<0或a<0,c<0,b>0 x1·x2>0⇒ >0; x1+x2>0⇒ >0, <0, 所以a、c同号,a、b异号, 若a>0,c>0,则b<0; 若a<0,c<0,则b>0. 由根系关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个正根,则a,b,c的符号分别 是_ _. 引例2 解答 解答 4 0 可得:x1+x2=0⇒-m=0, 所以m=0. 如果方程2x2+20x+(3m-1)=0的两个实根互为倒数,那么m的值为_. 引例4 1 因为两根互为倒数, 所以x1·x2=1⇒ =1⇒a=c,2=3m-1,m=1. 如果方程x2+mx=1的两个实根互为相反数,那么m的值为_. 引例3 根 系数 解答 解答 因为两个实数根互为相反数, 5 关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别为x1、x2,且x1+3x2=4,则m的值为_. 例1 分析 解答 ∵x1、x2是一元二次方程x2-3x+m=0的解, ∴x1+x2=3. ∵x1+3x2=4,即3+2x2=4, 得: , ∴x2= , 将x2= 代入原方程, ∴m= . 通过韦达定理,可以清楚的知道两根之和或积与一元二次方程系数的关系,同时考查了一元二次方程解的定义. 根与系数关系 x1+x2=3 x1+3x2=4 求出x2的值 求出m的值 6 已知关于x的方程x2-6x+c=0的一个根是另一个根的平方,求c的值. 例2 分析 解答 设方程的两个根分别为x1,x2, 由题意可知,x1=x22, 根据根与系数的关系可知, x1+x2=-b=6, 解得:x2=-3或x2=2, 当x2=-3时,x1=9, 由x1·x2=c ,可得:c=-27, 当x2=2时,x1=4, 由x1·x2=c,可得:c=8, 因为方程有两个不相等实数根, 所以Δ>0, ∴Δ=b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4c=36﹣4c>0, 综上所述,c=8或-27. 可得:x22+x2=6, 整理得:x22+x2-6=0, x1·x2=c, 解得:c<9, 利用根与系数关系求出一元二次方程中待定系数后,出现多解,这时一定要验证方程根的判别式. 求出两根 x1+x2=6 x1=x22 x1·x2=c 求出c的值 验证根的判别式 7 利用根与系数的关系求解含有两根关系式的值 (x1-x2)2=(x1+x2)2-_=_. x1+x2=_,x1·x2=_, x12+x22=(x1+x2)2-_=_, 设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根, 引例 由一元二次方程的根系关系可知 4 1 2 14 4 12 解答 ①遇见平方,考虑乘法公式凑两根和与积 ②遇见分式,,考虑通分凑两根和与积 8 已知一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1、x2,则 =_. 例3 分析 解答 ∵一元二次方程x2+2x-8=0的两根为x1、x2, ∴x1+x2=-2,x1·x2=-8, ∴ 故答案为: . 考查了利用根与系数关系解决两根关系式的值的问题,熟记常见的根与系数关系式的变形是解此题的关键. x1·x2=-8 x1+x2=-2 原式变形整理 代入求值 9 已知关于x的一元二次方程 . 例4 分析 解答 (1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1-x2=3,求k的值. (1)∵Δ=[-(2k+1)]2-4×1×( k2-2) =4k2+4k+1-2k2+8 =2k2+4k+9 =2(k+1)2+7, ∵无论k为何实数,2(k+1)2≥0, ∴2(k