专题9.8 平行四边形（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.8 平行四边形（知识讲解） 【学习目标】 1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解并识记平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3.认识平行四边形对角线分得的三角形的关系及拓展关系 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 特别说明：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； 特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点五、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图一 平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系： 图一 图二 【典型例题】 类型一、平行四边形➽➼性质➼➻求解✭✭证明 1．平行四边形ABCD中，BG垂直于CD，且AB=BG=BE，AE交BG于点F． (1) 若AB=3，∠BAD=60°，求CE的长； (2) 求证：AD=BF+CG． 【答案】(1) CE=2-3；(2) 见分析 【分析】（1）由“平行四边形的对角相等”推知∠C=∠BAD=60°，则通过30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到BC的长度，所以CE=BC-BE=BC-BG； （2）如图，延长GB至点P，使BP=CG．构建全等三角形：△ABP≌△BGC（SAS），由全等三角形的性质和平行四边形的对边相等得到BC=AP=AD、∠1=∠2．然后结合三角形外角的性质易证∠PAF=∠4，则AP=PF．所以结合图形知PF=PB+BF=CG+BF，则AD=BF+CG． （1）解：在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠C=60°． ∵BG垂直于CD， ∴∠BGC=90°，∠GBC=30°， ∴BC=2GC． 又∵AB=BG=BE=3，， ∴， ∴GC=， ∴BC=， ∴CE=BC-BE=BC-BG=2-3； （2）证明：如图，延长GB至点P，使BP=CG． 在△ABP与△BGC中， ， ∴△ABP≌△BGC（SAS）， ∴BC=AP=AD，∠1=∠2． ∵∠4=∠2+∠3． 又∵AB=BE， ∴∠5=∠3， ∴∠1+∠5=∠2+∠3=∠4，即∠PAF=∠4， ∴AP=PF． 又∵PF=PB+BF=CG+BF， ∴AD=BF+CG． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定推知AP=PF是解题的难点． 举一反三： 【变式1】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C