专题9.1 图形的旋转（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.1 图形的旋转（知识讲解） 【学习目标】 1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质； 2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【要点梳理】 要点一、旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 要点二、旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△). 特别说明：1、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转； 2、 只要旋转就产生等腰三角形，而且所有等腰三角形都相似； 3、 旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等。 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 特别说明：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　　(4)连接所得到的各对应点. 【典型例题】 类型一、图形旋转➽➼概念认识➼➻旋转中心✭✭旋转角✭✭旋转方向✭✭对应点 1．如图，是正方形的对角线，经过旋转后到达的位置（旋转角）． (1) 写出它的旋转中心； (2) 写出它的旋转方向和旋转角是多少度； (3) 分别写出点A、B、C的对应点． 【答案】(1)点A(2)旋转方向：逆时针，旋转角：(3)点A、B、C的对应点分别为A、E、F 【分析】（1）因为经过旋转后到达的位置，则A点的对应点为A，于是可判断旋转中心为点A； （2）根据旋转的性质求解； （3）根据旋转的性质求解． （1）解：经过旋转后到达的位置，则A点的对应点为A， 它的旋转中心为点A； （2）由题意得：它的旋转方向为逆时针方向， 是正方形的对角线， ， 旋转角是； （3）经过旋转后到达的位置， 点A，B，C的对应点分别为点A，E，F． 【点拨】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 举一反三： 【变式1】如图，是边长为2的等边三角形，旋转后能与重合， （1）写出旋转中心； （2）求旋转角． 【答案】(1)点B是旋转中心(2)旋转角是60° 【分析】（1）根据旋转后点B没有改变即可得出答案； （2）找出旋转前后AB与BC是对应边，所以AB与BC的夹角等于旋转角的度数，再根据等边三角形的内角都是60°进行求解即可． 解：(1)∵旋转后点B没有改变， ∴点B是旋转中心； (2)∵AB与BC是旋转前后对应边， ∴旋转角为∠ABC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴旋转角是60°． 【点拨】本题考查了旋转的性质，旋转中心的确定，旋转角的确定，掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式2】如图，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C在AD上．若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋转的度数，并指出旋转中心． 【答案】旋转的度数为，旋转中心为点 【分析】根据旋转的性质可得，、，点为旋转中心，为旋转角，即可求解． 解：由题意以及旋转的性质可得，、， 点为旋转中心，为旋转角 ∴ 故答案为：旋转的度数为，旋转中心为点 【点拨】此题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的有关性质． 类型二、图形的旋转➽➼旋转性质➼➻求解✭✭证明 2．如图，中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，若，求线段的长． 【答案】线段的长为． 【分析】根据含直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，根据旋转的性质可得，，，则，再由勾股定理即可求解． 解：在中，，，， 则，， 根据旋转的性质可得，，， ∴， ∴， 线段的长为 【点拨】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 举一反三： 【变式1】如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，． (1) 求证：为等边三角形； (2) 若，，，求的长度． 【答案】(1) 见分析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得，，即可根据等边三角形的判定定理得到出结论； （2）先证明，得出，，再根据是等边三角形，，，从而得出，即得到，即可由勾股定理求解． （1）解：∵