第五周 测试卷 2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册 每周一测

第五周——2022-2023学年高二数学北师大版(2019)选择性必修第一册每周一测 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、选择题 1、已知向量,平面的一个法向量,若,则( ) A., B., C. D. 2、在正三棱柱中,已知,D在棱上,且,则AD与平面所成的角的正弦值为( ) A. B. C. D. 3、如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 4、如图,在正三棱柱中,,,D为BC的中点,E为上的点,且,当二面角的余弦值为时,实数m的值为( ) A.1 B.2 C. D.3 5、如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 6、在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7、如图1,四边形ABCD与四边形ADEF分别为正方形和等腰梯形,,,,,沿AD边将四边形ADEF折起,使得平面平面ABCD,如图2,动点M在线段EF上,N,G分别是AB,BC的中点,设异面直线MN与AG所成的角为,则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 8、如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,,,平面平面ABCD,为等腰直角三角形,且,O为底面ABCD的中心,B为PD的中点, F在棱PA上,若,,则下列说法正确的有( ) A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为 B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为 C.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为,则 D.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为,则 9、已知正方体的棱长为1,点E、O分别是、的中点,P在正方体内部且满足,则下列说法正确的是( ) A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面的距离为 C.平面与平面间的距离为 D.点P到直线AB的距离为 10、已知正方体的棱长为1,E,F分别为线段,上的动点,则下列结论正确的是( ) A.平面 B.平面平面 C.点F到平面的距离为定值 D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值 三、填空题 11、在棱长为2的正方体中,M,N分别是的中点,则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为_. 12、如图,在棱长为2的正方体中,点P在正方体的体对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上,若P,Q均为动点,则PQ的最小值为_. 13、如图,在直三棱柱中,,,D为上一点.若二面角的大小为30°,则AD的长为_. 14、在长方体中,,,Q是线段上一点,且,则点Q到平面的距离为_. 四、解答题 15、如图,PO是三棱锥的高,,,E是PB的中点. (1)求证:平面PAC; (2)若,,,求二面角正余弦值. 参考答案 1、答案:A 解析:因为,所以,由,得,,,.故选A. 2、答案:A 解析:取AC的中点E,连接BE,则,如图,建立空直角坐标系Bxyz,则,,则.平面平面, ,平面, 为平面的一个法向量.设AD与平面所成的角为,则,故选A. 3、答案:C 解析:以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴,直线OC,OS分别为y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设, 则根据题意可得,,,, 所以,, 设异面直线AB与CM所成角为, 则. 故选:C. 4、答案:A 解析:由题意知,如图所示,过点A在平面ABC内作,则以A为原点,以Ax,AC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则,,,因此,. 设平面ADE的一个法向量为,则即令,得,,所以,取平面ADC的一个法向量,由二面角的余弦值为,得,解得,又,所以.故选A. 5、答案:B 解析:如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,. 设平面的一个法向量为,则即 令,则. 点到平面的距离. 6、答案:D 解析:以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,, 因此,,. 设平面的法向量为,则, 令,得, 点G到平面的距离为,故选D. 7、答案:A 解析:如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,由题意可得,,,, ,动点M在线段EF上, 可设,. , . 令, 则,, , 当时,取最大值,.故选A. 8、答案:BC 解析:, , 平面平面ABCD, 平面平面,平面PAD, 平面ABCD, 底面ABCD为矩形,,AD,AP两两垂直. 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则,,,,, ,, , 异面直线PO与AD所成角的余弦值为,故A错,B对. 由题易得,平面PAD, 取平面PAD的一个法向量. ,,, ,, 设平面OEF的法向量为, 易知,, 则即 令,得