椭圆及其性质课件-2023届高三数学一轮复习

椭圆及其性质 1 椭圆的定义和方程 第一定义:平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。 焦点 2a 2c a2-c2=b2 例.已知F1(-3,0),F2(3,0),若点P到F1,F2的距离之和为10, 则P点的轨迹方程是_. 注意:当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的. 练.△ABC的两个顶点为A(-3,0),B(3,0),△ABC周长为16, 则顶点C的轨迹方程为 √ 椭圆的定义和方程 例 如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时, 点Q的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 √ |QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r>|OA|. 点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆. 椭圆的定义和方程 例1 (1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A是圆上任意一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 √ 点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|. 又AM是圆的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|. 由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆. 变式:动点P的方程为 椭圆的定义和方程 跟踪训练1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9. 动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的 轨迹方程是 √ 椭圆的定义和方程 设动圆的圆心M(x,y),半径为r, 圆M与圆C1:(x-4)2+y2=169内切, 与圆C2:(x+4)2+y2=9外切. 所以|MC1|=13-r,|MC2|=3+r. |MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8, 由椭圆的定义,M的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为16的椭圆. 则a=8,c=4,所以b2=82-42=48, √ 练 变式2:|PA|—|PF|的最小值为_ 变式1:|PA|—|PB|的最大值为_ 例 练:已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点, A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为_,最小值为_. 设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0), 又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立), √ 设F1为椭圆的另外一个焦点, 则由椭圆的定义可得|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF1|+2a-|BF1|+|AB|=4a+|AB|-|BF1|-|AF1|=8+|AB|-|BF1|-|AF1|, 当A,B,F1三点共线时, |AB|-|BF1|-|AF1|=0, 当A,B,F1三点不共线时, |AB|-|BF1|-|AF1|<0, 所以当A,B,F1三点共线时,△ABF的周长取得最大值8. 第二定义:平面内与一定点距离与一定直线之比为常数e(0<e<1)的点的轨迹。 焦点 相应准线 离心率 PF2=a-ex0 PF1=a+ex0 焦半径:PF∈[a-c,a+c] b2≤|PF1|·|PF2|≤a2 左加右减 PF2=a-ey0 PF1=a+ey0 上加下减 焦点在x轴上 焦点在y轴上 第三定义:平面内与关于原点对称的两定点斜率之积等于常数的点的轨迹。 顶点 e2-1 练.设椭圆 =1(a>b>0)长轴的端点分别为A,B.点C为椭圆上异于 A,B的一点,若将△ABC的三内角记为A,B,C,且满足3tan A+3tan B+tan C=0,则tan A·tan B的值为_,椭圆的离心率为_. 解析 方法一 ∵3tan A+3tan B+tan C=0, ∴3tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C=0, ∴-3tan C(1-tan Atan B)+tan C=0. 椭圆的方程 1、标准方程: 2、参数方程: 3、一般方程:Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B) A<B,焦点在x轴;A>B,焦点在y轴 先定形(焦点位置),再定量 4、与 相同离心率的方程: 5、与 共焦点的方程: 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n). 因为椭圆经过P1,P2两点, 所以点P1,P2的坐标满足椭圆方程, 由c2=a2-b2可得b2=4. 命题点1 定义法 例2 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 √ 由椭圆定义可得|AF1|+|AB|+|BF1|=4a. ∵|AB|=|BF1|,∴|AF1|+2|AB|=4a.又|A