三角形的心与奔驰定理课件-2023届高三数学二轮专题复习

平面向量（二） 三角形的心与奔驰定理 高考数学专题复习 1 一.重心 A B C G 1.三角形重心： 2.性质： ①重心分中线线段比例为2：1 E F D ②中线表示为 ③在ΔABC中，已知G为ΔABC的重心，则 三条中线的交点 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 2 A B C G ④已知G为ΔABC的重心，则点G的坐标满足 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 3 二.垂心 A B C O F D E 1.三角形垂心： 2.性质： 三条高线的交点 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 4 三.外心 B C A O 1.三角形外心（外接圆的圆心）： 2.性质： ① ② 三条边垂直平分线的交点 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 5 四.内心 A B C O 1.三角形内心（内接圆的圆心）： D E F 三个角平分线的交点 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 6 2.性质： ① A B C O F E D ② 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 7 重 A B C O D 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 8 内 A B C O 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 9 外 A B C D 更多作品请搜索: http://dwz.cn/Wu2UP 10 知识梳理 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一． 奔驰定理作用：①处理有关三角形面积比问题 ②利用奔驰定理反求向量式中参数问题 ③奔驰定理处理三角形四心问题 奔驰定理运用：①共起点三向量和为零向量（形式转化） ②涉及起点为顶点三角形面积 知识梳理 能力 提升 “奔驰定理”与三角形“四心”： 已知点O在△ABC内部，有以下四个推论： 典例精讲 奔驰定理直接法求三角形面积比 典例精讲 奔驰定理直接法求三角形面积比 典例精讲 奔驰定理变形求三角形面积比 典例精讲 奔驰定理变形求三角形面积比 典例精讲 利用三角形面积反求向量式系数问题 典例精讲 利用三角形面积反求向量式系数问题 精选精练 1.奔驰定理： 为内一点， ，则 . 重要结论： ， ， . 推论：对于 所在平面内不在三角形边上的任一点， 则 、 、 的面积分别为 . (1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0. (2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0. (3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0. 备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝0也对. (4)若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 【解析】因为点 在内部，满足奔驰定理 ， 且 ，所以 与 的面积之比为 ，故答案为： . 【例1】 设点 在内部，且 ， 则 与 的面积之比为________. 【例2】设点 在的外部，且 ， 则 A． B． C． D． 【解析】根据奔驰定理推广结论可得：，故 【解析】由eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up7(→))得，eq \o(DA,\s\up6(→))＋2eq \o(DB,\s\up6(→))＋3eq \o(DC,\s\up6(→))＝0，根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3． 【例3】在中，为所在平面内一点，且， 则等于(　　) A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3) 【解析】由变形可得：整理可得：，则根据奔驰定理可得：，则. 【例4】点在内的一点，，则的面积与的面积之比是 【解析】根据奔驰定理，得3eq \o(OA,\s\up6(→))＋2eq \o(OB,\s\up6(→))＋4eq \o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq \o(OA,\s\up6(→))＋2(eq \o(OA,\s\up6(→)