18.1.2平行四边形的判定 2022-2023学年人教版八年级数学下学期

18.1.2平行四边形的判定 一、情境引入 1、A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？ 2、 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 思考：一个三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线一样吗？ 二.问题探究 观察，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 我们猜想，DE∥BC，DE=BC。下面对它进行证明。 已知： 求证： 证明： 还有其他方法证明吗？ 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半。 符号语言：∵ ∴ 三.典例分析 例题1、 1）.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　 　． 2）.如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为　 　cm． 例题2.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是　 　． 变式：已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为AB边、AC边、BC边的中点，且小三角形EDF的面积为6cm2，则△ABC的面积= 练习：如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． （1）求EF的长； （2）求四边形DEFC的面积． 例3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1=35°，则∠D=    度． 练习：如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°， ∠PMN的度数 ． 例4.如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为AD与BC的中点，连结EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M． 求证：∠BNF=∠CMF． 小结：已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形中位线，运用三角形中位线性质定理证明某些线段相等或角相等。 练习：如图，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，点E、F分别是PA、PQ的中点，当点P在BC上移动时，线段EF的长度（　　） A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定 例5 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 结论：顺次连结四边形 所得的四边形是 ． 例题6、如图，△ABC的中线AD与中位线MN相交于点O．AD与MN有怎样的关系？证明你的结论． 练习：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE=BF，BE交AF于M，CE交DF于N，求证：MNAD． 例题7、如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点，求证：EF＞（AB﹣CD）． 四.拓展延伸 1.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，求△ABC的周长． 2.在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O， ①BO与OD的长度有什么关系？请证明． ②BC边上的中线是否一定过点O？为什么？ 3.如图，已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图一，当点M在BC边上时，求证：MF=NE．（2）若点M在点B左侧，其他条件不变时，请你在图二中作出相应的图形（不写作法），MF与NE相等的结论是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明或说明理由． （3）请你利用（2）中所作出的图形来判断点F是否在直线NE上？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $