第08讲 导数的运算-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第二册）

第08讲 导数的运算 【考点目录】 【知识梳理】 　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 注意点：对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． 知识点2 导数的运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 知识点3 复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 注：1、求复合函数的导数的步骤 2、利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 3、求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 【考点剖析】 考点一 利用导数公式求函数的导数 1．（2022春·湖南株洲·高二校考期中）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 2．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·高二课时练习）设一质点的位移s与时间t满足的函数关系是，求： (1)质点从到的平均速度（其中）； (2)当时质点的瞬时速度． 4．（2022春·云南楚雄·高三校考阶段练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D．e 5．（2021秋·宁夏中卫·高二海原县第一中学校考期中）设函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2022春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）设，则方程的解集为______. 考点二 导数的运算法则 7．（2023·高二课时练习）分别求函数在，，处的导数． 8．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)． 9．（2022春·陕西西安·高二校考阶段练习）求下列函数的导函数： (1) (2) (3) 10．（2022春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C．2 D． 11．（2022春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）已知函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 12．（2021春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知是二次函数，若方程有两个相等实根，且，求函数的解析式. 13．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知函数，．若，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若，为的导函数）且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 15．（2022春·湖南·高三校联考开学考试）定义在上的奇函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为___________. 考点三 复合函数与导数的运算法则的综合应用 16．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 17．（2022春·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 18．（2023·高二课时练习）已知函数，若，则_______． 19．（2022春·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数的导函数为，若，则__________. 20．（