16 层级二 专题三 专项培优(四)　立体几何中的截面、交线问题模型（教师用书）-【金版新学案】2023高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材)

在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、正方体、长方体等等)，得到的平面图形叫作截面，截面的边缘就是交线．截面与交线问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性强，思维层次高，能够培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养． 1．截面问题 (1)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论： ①截面形状可能为正三角形； ②截面形状可能为正方形； ③截面形状不可能是正五边形； ④截面面积最大值为3. 其中所有正确结论的选项是(　　) A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①③④ (2)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________． 解析：　(1)如图，连接B1D1，B1C，CD1，A1B，A1D，BD，易知AC1⊥平面B1CD1，当平面α为平面B1CD1时，截面为正三角形，故①正确． 将平面B1CD1进行平移，使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形．在平面B1CD1向左平移到过点C1的过程中，截面为三角形，且截面面积逐渐变小．在平面B1CD1向右平移到与平面BDA1重合的过程中，截面为六边形，继续向右平移到过点A的过程中，截面为三角形．所以截面形状不可能为正方形或正五边形，所以②不正确，③正确．当截面为三角形时，截面面积最大为×(2)2sin 60°＝2，当截面为六边形时，设截面为六边形GMEFNH，连接MN.设A1G＝x，0<x<2，则GH＝ME＝NF＝x，MG＝HN＝EF＝(2－x)，MN＝2，所以六边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和，设梯形HGMN的高为h1，梯形MNFE的高为h2，则六边形GMEFNH的面积S＝(GH＋MN)·h1＋(MN＋EF)·h2.易知h1＝＝， h2＝＝，所以S＝(x＋2)× ＋[2＋(2－x)]× ＝－x2＋2x＋2，当x＝1时，S取得最大值，Smax＝3.故④正确．故选D. (2)平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为△ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，如图所示，△ACD1内切圆的半径是×tan 30°＝，则所求的截面圆的面积是π×＝. 答案：　(1)D　(2) 作截面的三种常用方法 1．直接法：解题关键是利用截面的顶点在几何体的棱上． 2．作平行线法：解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行． 3．延长交线得交点法：解题关键是利用截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上．　　 2.交线问题 (1)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为棱A1B1，DD1的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长是(　　) A.5＋2＋4 B.10＋4＋ C.10＋2＋ D. (2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 解析：　(1)由题意得如图所示的截面五边形为PBMQN. 易知CM＝3，DM＝1，D1N＝，A1N＝，B1P＝A1P＝DQ＝D1Q＝2，故BP＝＝2，BM＝＝5，QM＝＝，QN＝＝，PN＝＝.所以截面五边形PBMQN的周长为.故选D. (2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°，知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝. 答案：　(1)D　(2) 解决交线问题的关键是理清截面的位置、形状；轨迹是直线还是曲线；这样就可求交线长、周长或面积．　　 即时练1.(2022·合肥质检)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，过体对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则 ①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形BFD1E一定是平行四边形； ③平面α与平面DBB1不可能垂直； ④四边形BFD1E的面积有最大值． 其中所有正确结论的序号为(　　) A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④ C　[如图所示，对于①，由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，①正