5 层级二 专题一 第二讲　三角恒等变换与解三角形（教师用书）-【金版新学案】2023高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材)

第二讲　三角恒等变换与解三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A. B. C. D. A　[因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.] 2．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________． 解析：　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2. 答案：　2 3．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°. (1)若a＝c，b＝2 ，求△ABC的面积； (2)若sin A＋sin C＝，求C. 解析：　(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°， 解得c＝－2(舍去)，c＝2，从而a＝2. △ABC的面积为×2×2×sin 150°＝. (2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C， 所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin 30°cos C＋cos 30°sin C＝sin(30°＋C)， 故sin(30°＋C)＝. 而0°<C<30°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°. 4．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)证明：2a2＝b2＋c2； (2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长． 解析：　(1)证明：因为sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin Csin Acos B－sin Csin Bcos A＝ sin Bsin Ccos A－sin Bsin Acos C， 所以ac·－2bc·＝－ab·， 即－(b2＋c2－a2)＝－， 所以2a2＝b2＋c2. (2)因为a＝5，cos A＝，由(1)得b2＋c2＝50， 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 则50－bc＝25，所以bc＝， 故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81， 所以b＋c＝9， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14. 1．考向预测：高考对此部分内容考查多集中于利用正、余弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换，求解边、角及三角形面积及周长，还考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题．高考对解三角形的考查，三种题型均可出现，难度中等偏下． 2．素养考查：数学运算、数学建模、逻辑推理．　　 考点一　三角恒等变换及求值 1．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. B. C. D. C　[由α，β为锐角，得－<α－β<， 由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝， 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝.故选C.] 2．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 C　[由已知得： sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β， 即：sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即：sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.] 3．(2022·成都诊断)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin 18°，若a2＋b＝4，则＝________． 解析：　因为a＝2sin 18°，且a2＋b＝4， 所以b＝4－a2＝4－4sin218°＝4cos218°. 所以＝ ＝＝＝－. 答案：　－ 1．三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降