6.1.2空间向量的数量积-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6.1.2空间向量的数量积 目标导航 课程标准 重难点 掌握空间向量数量积运算 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质. 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. 知识精讲 知识点01 空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b 【即学即练1】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【即学即练2】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为的是( ) A．与      B．与      C．与      D．与 知识点02 空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b=     b·a     结合律 (λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=     a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 【即学即练3】如图，在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【即学即练4】(多选)正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 向量的投影 （1）向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b （2）向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n 【即学即练5】四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______． 能力拓展 ◆考点01 数量积的概念 【典例1】设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【典例3】（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． ◆考点02 数量积的运算 【典例4】（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2.以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例5】已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1)·； (2)·； (3)(＋)·(＋)． ◆考点03 利用空间向量的数量积求夹角 【典例7】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________ 【典例8】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，． （1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． ◆考点04 利用空间向量的数量积求长度（距离） 【典例9】平行六面体中，，