第三章圆锥曲线的方程大题练习-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线大题练习 一、解答题(共5小题;共65分) 1. 在平面直角坐标系 中,已知两定点 ,,动点 满足 . (1)求动点 的轨迹 的方程; (2)轨迹 上有两点 ,,它们关于直线 对称,且满足 ,求 的面积. 2. 在平面直角坐标系 中, 为直线 上的动点,动点 满足 ,且原点 在以 为直径的圆上.记动点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程; (2)过点 的直线 与曲线 交于 , 两点,点 (异于 ,)在 上,直线 , 分别与 轴交于点 ,,且 ,求 面积的最小值. 3. 已知圆 :,圆 :,动圆 与圆 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程. (2)过点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,,求直线 被曲线 截得的弦的中心坐标. 4. 已知离心率为 的椭圆 , 与抛物线 : 有相同的焦点 ,且抛物线经过点 , 是坐标原点. (1)求椭圆和抛物线的标准方程. (2)已知直线 与抛物线交于 , 两点,与椭圆交于 , 两点,若 的内切圆圆心始终在直线 上,求 面积的最大值. 5. 已知 是抛物线 的焦点,经过点 的直线 与 相交于 , 两点. (1)若 的斜率为 ,且 ,求抛物线 的方程. (2)过 , 分别向 的准线 作垂线,垂足为 ,,证明:以 为直径的圆与直线 相切. 答案 第一部分 1. (1) 设动点 的坐标为 ,则 . 整理得 , 故动点 的轨迹是圆,且方程为 . (2) 由()知动点 的轨迹是圆心为 ,半径 的圆, 圆上两点 , 关于直线 对称, 由垂径定理可得圆心 在直线 上, 代入并求得 ,故直线 的方程为 . 易知 垂直于直线 ,且 . 设 的中点为 ,则 又 ,. 所以 ,, 所以 ,. 易知 ,故 到 的距离等于 , 所以 . 2. (1) 由题意,不妨设 ,则 ,,, 因为 在以 为直径的圆上, 所以 , 所以 , 所以 , 所以曲线 的方程为 . (2) 设 ,,,,, 依题意,可设 (其中 ), 由方程组 消去 并整理,得 , 则 ,, 同理可设 ,, 可得 ,, 所以 ,, 又因为 , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 所以 所以当 时, 面积取得最小值,其最小值为 . 3. (1) 由已知得圆 的圆心为 ,半径 ,圆 的圆心为 ,半径 . 设动圆 的圆心为 ,半径为 . 因为圆 与圆 外切并且与圆 内切, 所以 , 由椭圆的定义可知,曲线 是以 , 为左、右焦点的椭圆(左定点除外),得 , 所以 ,, 所以 . 所以椭圆方程为 . (2) ,以 为圆心, 为半径的圆 , 与圆 : 公共弦所在直线为 的方程为 , 联立曲线 : 与直线 :,可得 ,, 设交点 ,,则 , 所以中点的横坐标为 ,代入直线 :,得中点的纵坐标为 , 所以所求中点坐标为 . 4. (1) 由题:,故抛物线 的方程为 . 抛物线 的焦点为 ,故 . 又因为椭圆离心率为 ,即 ,解得 ,, 所以椭圆 的方程为 . (2) 因为 的内切圆圆心始终在直线 上,即 平分 . 设直线 , 的斜率分别为 ,.因为 垂直于 轴,故 . 设 ,,则 . 因为 ,, 所以 ,即 . 所以 ,即 . 将直线 与 联立,可得 , 由题 ,故 . 将直线 与 联立,可得 , 由题 ,故 ,故 , 设 ,,则 ,. 则 . 坐标原点 到直线 距离为 , 故 的面积 . 因为 , 所以 , 故当 时,. 5. (1) 方法一:因为 , 所以直线 方程:, 把 代入 ,整理得 , 设 ,,则 ,. 由抛物线定义知:, 所以 ,即 . 方法二:由弦长公式可知: , 所以 ,即 . 方法三:因为直线 斜率为 , 所以直线 的倾斜角 , 由 可知 ,即 . (2) 方法一:作图,取 的中点 , 连接 ,,, 因为 ,, 所以 ,, 所以 ,同理 , 所以 , 即以 为直径的圆经过点 , 又因为 , 所以 , 即 , 所以以 为直径的圆与直线 相切于点 , 另法:设 ,代入 得 , 设 ,,则 ,, 所以 ,,, 所以 ,,, 又 ,, 所以 , 即 .得证. 方法二: 显然直线 与 轴不平行,故设直线 方程为 , 设 ,,则 ,, 则 的中点 ,故点 为以 为直径的圆, 则点 到直线 的距离 , 联立 得 , 所以 ,, 所以 , 所以 , 所以以 为直径的圆的半径 , 因为 , 所以以 为直径的圆与直线 相切. 第1页(共1 页) 学科网(北京)股份有限公司 $