2.6.1函数的单调性与导数(第1课时)课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第1课时　函数的单调性与导数 南阳市五中 要点　导数与函数的单调性 在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调________ f′(x)<0 单调________ f′(x)＝0 常数函数 递增 递减 (1)若在某区间上有有限个点使f ′(x)＝0，其余的点恒有f ′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0. 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) × × √ √ 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)>0　　 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的符号不确定 答案：B 解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.故选B. 3．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：∵当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故选D. 4．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：例如取f(x)＝x3(－1<x<1)，则f(x)＝x3在(－1，1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．故选A. 题型一　导函数与原函数图象间的关系 例1　(1)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 答案：(1)D 解析：(1)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)>0(即全部在x轴上方)，故排除A、C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)>0，故排除B，故选D. (2)(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是(　　) 答案：　(2)ABC 解析：(2)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC. 函数与导数图象间的关系 判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面： (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)导数与函数图象的关系 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′(x)<0且越来越小 绝对值越来越大 f′(x)<0且越来越大 绝对值越来越小 跟踪训练1　(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：(1)D 解析：(1)当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C，且f′(0)>0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.故选D. (2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) 答案：　(2)D 解析：(2)当x>0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零⇒f′(x)≥0，在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]