2.5简单复合函数的求导法则课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§5　简单复合函数的求导法则 南阳市五中 要点一　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成__________，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的____________，记作____________，其中u为中间变量． 要点二　复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝_______．即y对x的导数是_________________________． x的函数 复合函数 y＝f(φ(x)) yu′·ux′ y对u的导数与u对x的导数的乘积 (1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数． (2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1两个函数复合而成的．(　　) (2)函数f(x)＝e－x的导数是f′(x)＝e－x.(　　) (3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.(　　) (4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.(　　) √ × × √ 2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是(　　) A．y＝ln (x－2)　 B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x 答案：AD 解析：函数y＝ln (x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD. 3．若函数f(x)＝3cos (2x＋)，则f′()等于(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 答案：B 解析：由题意得f′(x)＝－6sin (2x＋)， ∴f′()＝－6sin ＝6sin ＝6× ＝3. 4．曲线y＝e－x在点(0，1)的切线方程为____________． x＋y－1＝0 解析：∵y＝e－x， ∴y′＝－e－x， ∴y′|x＝0＝－1， ∴切线方程为y－1＝－x， 即x＋y－1＝0. 题型一　求复合函数的导数 例1　求下列函数的导数 (1)y＝； (2)y＝cos (2 021x＋8)；   (3)y＝e1－3x； (4)y＝ln (2x－6)． 解析：(1)设u＝φ(x)＝3－4x，则y＝f(u)＝＝u－4， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(3－4x)′＝(－4u－5)·(－4)＝＝. (2)设u＝φ(x)＝2 021x＋8，则y＝f(u)＝cos u， ∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(cos u)′·(2 021x＋8)′ ＝(－sin u)·2 021 ＝－2 021sin (2 021x＋8)． (3)设u＝φ(x)＝1－3x，则y＝f(u)＝eu， ∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(eu)′·(1－3x)′＝eu·(－3)＝－3e1－3x. (4)设u＝φ(x)＝2x－6，则y＝f(u)＝ln u，∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(ln u)′·(2x－6)′＝×2＝＝. 跟踪训练1　 (1)y＝(2x－1)4； (2)y＝； (3)y＝sin (－2x＋)； (4)y＝102x＋3. 解析：(1)设u＝φ(x)＝2x－1，则y＝f(u)＝u4， ∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3. (2)设u＝φ(x)＝1－2x，则y＝f(u)＝＝， ∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝)′·(1－2x)′＝)·(－2) ＝＝. (3)设u＝φ(x)＝－2x＋，则y＝f(u)＝sin u， ∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(sin u)′·(－2x＋)′＝cos u·(－2)＝－2cos (－2x＋)． (4)设u＝φ(x)＝2x＋3，则y＝f(u)＝10u， ∴y′x＝f′(u)·φ′(x)＝(10 u)′·(2x＋3)′＝(10u·ln 10)×2＝(2ln 10)102x＋3. 题型二　复合函数的导数与曲线的切线问题 例2　(1)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________． (2)已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线为l，若直线l与圆C：x2