2.4导数的四则运算法则课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§4　导数的四则运算法则 南阳市五中 要点　导数的运算法则 若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有 导数运算法则 语言叙述 1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)． 2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数． 3.[]′＝(g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方． 法则1：函数的和(差)的导数 导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)． 法则2：函数的积的导数 (1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)． (2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常数． (3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x). 法则3：函数的商的导数 (1)注意[]′≠. (2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝ ，[]′＝－. 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)已知函数y＝2ln x－2x，则y′＝－2x ln 2.(　　) (2)已知函数y＝3sin x＋cos x，则y′＝3cos x＋sin x．(　　) (3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (4)若函数f(x)＝，则f′(x)＝.(　　) √ √ × × 2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为(　　) A．1－sin 1　　B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1 答案：A 解析：因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A. 3．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　) A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 答案：B 解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.故选B. 4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________． 1 解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2， ∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 题型一　利用求导公式和法则求导 例1　求下列函数的导数 (1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x2＋ln x； (3)y＝x2·sin x； (4)y＝. 解析：(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5. (2)y′＝(x2＋ln x)′＝(x2)′＋(ln x)′＝2x＋. (3)y′＝(x2)′sin x＋x2·(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x. (4)y′＝ ＝＝. 跟踪训练1　(1)(多选题)下列求导运算中正确的是(　　) A．′＝1＋　 B．(lg x)′＝ C．′＝ D．(x2cos x)′＝－2x sin x (2)求下列函数的导数 ①y＝x2－2x－4ln x；②y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； ③y＝. 答案：(1)BC　(2)见解析 解析：(1)′＝1－，A错误；(lg x)′＝，B正确；′＝，C正确；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．故选BC. (2)①y′＝2x－2－； ②∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11； ③y′＝＝. 题型二　导数与曲线的切线问题 例2　已知曲线y＝在(2，2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值． 解析：因为y′＝＝－， 所以y′|x＝2＝－1， 即－＝－1. 所以a＝2. 变式探究1　本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离． 解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0， 直线方程x＋y＋＝0， 所以所求距离d＝＝. 变式