2.3导数的计算课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§3　导数的计算 南阳市五中 要点一　几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝x f′(x)＝________ f(x)＝x2 f′(x)＝________ f(x)＝x3 f′(x)＝________ f(x)＝ f′(x)＝________ f(x)＝ f′(x)＝________ 0 1 2x 3x2 － 要点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 0 αxα－1 cos x －sin x ax ln a ex 　 (1)几个基本初等函数导数公式的特点 ①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． ②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． ③对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． (2)函数与其导函数奇偶性的关系 ①常数的导数是0. ②奇函数的导函数为偶函数． ③偶函数的导函数为奇函数． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)′＝.(　　) (2)(log3x)′＝.(　　) (3)′＝cos .(　　) (4)若y＝e3，则y′＝e3.(　　) × × × × 2．(多选题)下列导数运算正确的是(　　) A．(ln x)′＝x B．(ax)′＝xax－1 C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－5x－6 答案：CD 解析：由导数公式得C、D正确．故选CD. 3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线方程是(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x－y－2＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－2＝0 答案：C 解析：y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A(0，1)，故切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选C. 4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________． 1 解析：f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 题型一　利用导数公式求函数的导数 例1　求下列函数的导数 (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log3x；(4)y＝cos . 解析：(1)y′＝(x－2)′＝－2x－3＝－； (2)y′＝()′＝′＝； (3)y′＝(log3x)′＝； (4)∵y＝cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x．  求简单函数的导数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．　 跟踪训练1　(1)(多选题)下列求导运算不正确的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．′＝ln x C．′＝xax－1 D．′＝ (2)已知f(x)＝，则f′＝________． 答案：(1)ABC　(2) 解析：(1)(cos x)′＝－sin x，A错误；′＝－，B错误；′＝ax ln a，C错误；′＝，D正确．故选ABC. (2)f′(x)＝′＝，∴f′＝＝. 题型二　利用导数公式求函数在某点处的导数 例2　质点的运动方程是s＝sin t， (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． 解析：　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为. (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t． 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 跟踪训练2　(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在处的导数． 解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝＝－， ∴f′(1)＝－＝－. (2)∵f′(x)＝－sin x， ∴f′＝－sin ＝－. 题型三　利用导数公式解决与曲线的切线有关的问题 例3　(1)设曲线y＝在点(2，)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　) A． B． C