2.2导数的概念及其几何意义课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§2　导数的概念及其几何意义 南阳市五中 要点一　导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)， 函数值y关于x的平均变化率为＝___________＝. 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝= 固定的值 要点二　割线的定义 函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 要点三　切线的定义 当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在________处的切线． 要点四　导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的_____________． 斜率 点A 点A 切线的斜率 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　) (2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) × × × × 2．函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 答案：C 解析：由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数． 故选C. 3．设函数y＝f(x)可导，则等于(　　) A．f′(1)　　　 B．3f′(1) C． D．以上都不对 答案：A 解析：由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A. 故选A. 4．抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________． y＝－4x 解析： ＝ ＝ ＝－4＋Δx 令Δx趋于0，则f′(－2)＝－4， 在点(－2，8)处的切线方程为：y－8＝－4(x＋2)， 即y＝－4x. 题型一　在某一点处导数的实际意义 例1　建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元．假设函数y＝f(x)在x＝100处的导数为f′(100)＝0.1，请解释它们的实际意义． 解析：f′(100)＝0.1表示建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 000元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 000元． 结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量． 跟踪训练1　某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，若函数y＝f(x)在x＝27处的导数f′(27)＝，试解释它的实际意义． 解析：当时间为27 min时，水流量增加的速度为 m3/min，也就是说当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3. 题型二　求函数在某点处的导数 例2　利用导数的定义，求函数y＝f(x)＝＋2在点x＝1处的导数． 解析：∵Δy＝ ＝ ∴＝ 当Δx趋于0，知函数f(x)＝＋2在x＝1处的导数为－2， ∴f′(1)＝－2. 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法 (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求＝； (3)当Δx趋于0时，得f′(x0)． 跟踪训练2　求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 解析：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx ∴＝＝2Δx＋16. 当Δx趋于0时，＝16，∴f′(3)＝16. 题型三　求曲线在某点处的切线方程 例3　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程． 解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4， ∴切点P(2，4)， ∵＝＝4＋2Δx＋(Δx)2， ∴当Δx趋于0时， 曲线y＝x3＋在x＝2处的导数y′＝4， ∴曲线y＝x3＋在点(－2，－1)处的切线方程为：y－4＝4(x－2)． 即4x－y－4＝0. 求曲线在某点处的切线方程的步骤 (1)求斜率：求出曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率f′(x0)； (2)写方程：用点斜式y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)写出切线方程； (3)变形式：将点斜式变为一般式． 跟踪训练3　求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切