2.1平均变化率与瞬时变化率课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

§1　平均变化率与瞬时变化率 南阳市五中 要点一　平均变化率 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1) 变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化________称作函数值y的________，记作________．这样，函数的平均变化率就可以表示为________的改变量与________的改变量之比， 即＝____________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的________． x2－x1　 改变量 Δx f(x2)－f(x1) 改变量 Δy 函数值 自变量 　 快慢 函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 要点二　瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝ x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 则函数的平均变化率是＝____________＝ ______________． 当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在________的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在________变化的快慢． x0点 一点处 平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx趋近于0表示Δx＝0.(　　) (2)平均速度与瞬时速度有可能相等．(　　) (3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．(　　) (4)一物体的运动方程是S＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是at0.(　　) × √ √ √ 2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(　　) A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3 答案：A 解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89 ∴＝＝＝6.3，故选A. 3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　) A．6 B．18 C．54 D．81 答案：B 解析：＝＝18＋3Δt， s′＝＝＝18，故选B. 4．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________． 8 解析：平均变化率为＝＝8. 题型一　求函数的平均变化率 例1　已知函数f(x)＝2x2＋1， (1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． 解析：(1)由f(x)＝2x2＋1 得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2 Δx＝2.01－2＝0.01 ∴＝＝8.02. (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－1＝2Δx(2x0＋Δx) ∴＝＝4x0＋2Δx. 1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． 第三步，求平均变化率＝. 2．求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用的形式． 跟踪训练1　函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是(　　) A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2 答案：C 解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， ∴＝＝2＋Δx. 故选C. 题型二　平均变化率的实际应用 例2　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？ 解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)， 但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)， 故<. 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快． 平均变化率的意义 1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论． 2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢． 跟踪训练2　某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是(　　) A．甲的日生产量大于乙的日生产量 B．甲的日生产量小于乙的日生产量 C．甲的日生产量等于乙的日生产量 D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产