1.3.2等比数列的前n项和(二)课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第2课时　等比数列的前n项和(二) 南阳市五中 题型一　等比数列前n项和的函数特征 例1　已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，求{an}的前n项和． 解析：由题意得，等比数列{an}的公比q的取值未定，需分情况讨论． 当q＝1时，由于3a1＝1－q＝0， 即a1＝0，与{an}是等比数列矛盾， ∴q≠1，即＝. 又∵等比数列前n项和公式为Sn＝－·qn＋， ∴Sn＝－qn＋. 求等比数列前n项和时，若公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；若不等于1，它的前n项和可以看作关于n的函数，然后用函数性质求解． 跟踪训练1　已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝(　　) A．－4 B．－1 C．0 D．1 答案：D 解析：解法一　设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12， a3＝S3－S2＝＝a1·a3， 即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1. 解法二　数列{an}是非常数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，由此可见a＝－1. 题型二　等差数列与等比数列的基本运算 例2　记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn. 解析：设数列{an}的公差为d， 依题设有即 解得或 因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)． 在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法． 跟踪训练2　设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3与的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项公式an.   解析：设等差数列{an}的首项为a，公差为d，则an＝a＋(n－1)d， 前n项和Sn＝na＋d. 由题意得 其中S5≠0，于是得 整理得解得或 由此得an＝1或an＝4－(n－1)＝n. 经验证an＝1时，S5＝5或an＝n时，S5＝－4均适合题意．故所求数列的通项公式为an＝1或an＝n. 题型三　等差数列与等比数列的综合 例3　在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求d，q的值； (2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由a2＝b2，a8＝b3，得 即 解方程组得或(舍) (2)存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立． 由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，bn＝b1qn－1＝6n－1， 由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b， 即5n－4＝nloga6＋b－loga6 比较系数得∴ 所以存在a＝，b＝1，使得对一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立． (1)通过等差数列，等比数列的通项公式，建立方程组，求出d，q，运用了方程的思想． (2)对于存在性问题的解题规律是首先假设存在性成立，然后从其出发进行推理论证，若找到符合题设存在的条件，则存在性成立，若出现矛盾，则存在性不成立． 跟踪训练3　在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 若Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，Tn是公比为q的等比数列{bn}的前n项和，________，a1＝1，S5＝25，a2＝b2，是否存在正数λ，使得λ|Tn|<12? 解析：∵S5＝25＝5a3，∴a3＝5， ∴a2＝＝＝3，∴b2＝a2＝3. ∴d＝a2－a1＝3－1＝2. 若选①，∵q·d＝1，∴q＝＝， ∴b1＝3×2＝6，∴Tn＝＝12， 由λ|Tn|<12得λ≤1，又λ>0，所以λ的取值范围为(0，1]. 若选②，∵a2＋b3＝0， ∴b3＝－a2＝－3，∴q＝－1，b1＝－3， ∴当n为偶数时，Tn＝0，则λ>0； 当n为奇数时，Tn＝－3，由λ|Tn|<12得λ<4. 综上得λ的取值范围为(0，4)． 若选③，由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1. ∴q＝＝3.∴Tn＝＝， 由指数函数的性质可知Tn无最大值，∴不存在正数λ，使得λ|Tn|<12. 1．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＝(　　) A．1 B．2 C． D． 答案：B 解析：(特值法)：设a，b，c分别为2，4，8. 则x＝＝3，y＝＝6∴＝＝2. 故选B. 2．公差不为零的等差数列{an}的第二、第三、第六项构成等比数列，则公比为(