1.3.2等比数列的前n项和(一)课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第1课时　等比数列的前n项和(一) 南阳市五中 要点一　等比数列的前n项和公式 na1 (1)等比数列前n项和公式分q ＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q≠1时，公式Sn ＝与Sn ＝是等价的，利用an ＝a1qn －1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn ＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn ＝较方便． 要点二　等比数列的前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则______，________，______仍为等比数列． 2．已知{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n，则＝________． Sn　 S2n－Sn S3n－S2n q (1)当q ＝ －1且k为偶数时，…不是等比数列； (2)当q≠ －1时，或q ＝ －1且k为奇数时，…是等比数列． (3)若{an}是公比为q的等比数列，则：①前n项积Tn ＝；②连续m项的积仍为等比数列，即Tm，，…是等比数列，公比为. 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　) × × √ √ 2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　) A．93 B．－93 C．45 D．－45 答案：A 解析：S5＝＝＝93.故选A. 3．在等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4等于(　　) A．28 B．32 C．35 D．49 答案：A 解析：由等比数列前n项和的性质得 S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， 所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4), 即(S4－7)2＝7×(91－S4)，解得S4＝28(舍去负值). 故选A. 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点了381盏灯，则底层所点灯的盏数是________． 192 解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381， 解得a1＝192. 题型一　等比数列前n项和的基本运算 例1　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解析：(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝ (2)法一：由题意知 解得从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又因为Sn＝＝126，所以q为2或. 方法归纳 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 跟踪训练1　在等比数列{an}中， (1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解析：(1)由Sn＝得11＝，∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1得16＝(－2)n－1， ∴n＝5. (2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意， ∴q≠1，∴S4＝＝1，S8＝＝17， 两式相除得＝17＝1＋q4， ∴q＝2或q＝－2，∴a1＝或a1＝－， ∴an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1. 题型二　等比数列前n项和的性质的应用 例2　(1)各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40等于(　　) A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 答案：(1)A　 解析：(1)解法一　设首项为a1，公比为q，由题意知q≠±1， 由， 由以上两式相除得q20＋q10－6＝0， 解得q10＝2或q10＝－3(舍去)，代入①有＝－10， ∴S40＝＝－10×(－15)＝150. 解法二　易知q≠±1，由S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成公比为q10的等比数列，则