1.3.1等比数列的概念及其通项公式(二)课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第2课时　等比数列的概念及其通项公式(二) 南阳市五中 要点　等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成________数列，那么称G＝________为a，b的等比中项． 等比 ± (1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±. (2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项． (3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若G是a与b的等比中项，则G＝.(　　) (2)若a，G，b满足G2＝ab，则a，G，b一定是等比数列．(　　) (3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　) (4)等比数列{an}中，a1，a4，a7，a10，…仍然是等比数列．(　　) × × × √ 2．若三个正数1，b，16成等比数列，则b的值为(　　) A．－4　　B．4 C．8 D．±4 答案：B 解析：由等比中项知b2＝16，又b>0，∴b＝4. 故选B. 3．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为(　　) A．4 B．8 C．36 D．32 答案：C 解析：∵{an}是等比数列，∴a2a6＝＝36. 故选C. 4．若三个数3－，x，3＋成等比数列，则x＝________． ±2 解析：由等比中项知：x2＝(3－)(3＋)＝4. ∴x＝±2. 题型一　等比中项 例1　(1)(多选题)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是(　　) A．－ B． C．－4 D．4 (2)在两个数a，b(ab>0)之间插入三个数，使它们成等比数列，则正中间的一个数是________． 答案：(1)CD　(2)或－ 解析：(1)由题意知an＝·2n－1＝2n－4>0 ∴a4＝1，a8＝16 ∴a4·a8＝16 ∴a4与a8的等比中项是±4. 故选CD. (2)由题意知，所求的中间项是a与b的等比中项， 设此数为G，则G2＝ab，故G＝±. 应用等比中项解题策略 (1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示； (2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同． 跟踪训练1　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 答案：B 解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列， ∴b2＝(－1)×(－9)＝9 ∵b<0，∴b＝－3. 又∵b2＝ac，∴ac＝9.故选B. 题型二　等比数列的性质应用 例2　已知{an}为等比数列． (1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解析：(1)在等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以＝a1a5＝a2a4＝，所以a5＝. (2)根据等比中项，化简条件得 ＝25，即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 运用等比数列性质计算的策略 运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则＝”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7. (2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. 解析：(1)法一：相除得q8＝9. 所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9. 法二：因为＝a3a11＝81，所以a7＝±9， 又因为a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9. (2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15， 所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3. 所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±. 题型三　等比数列的实际应