1.3.1等比数列的概念及其通项公式(一)课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第1课时　等比数列的概念及其通项公式(一) 南阳市五中 要点一　等比数列的概念 文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 若＝q(n≥2，q是常数且q≠0)，则数列{an}为等比数列 (1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列． (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒． (3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略． 要点二　等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝________(a1≠0，q≠0)． a1qn－1 (1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列． (2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量． (3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)数列－1，1，1，－1，…是等比数列．(　　) (3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (4)常数列一定为等比数列．(　　) × × × × 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是(　　) A．2，22，3×22，…　　　　　B．，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0，0，0，… 答案：ACD 解析：≠，A不是等比数列；＝＝…，B是等比数列；当s＝1时，不是等比数列；当s≠1时，是等比数列，所以C不是等比数列；D显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝(　　) A．±2 B．2 C．－2 D．4 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝()3， ∴q＝，∴a3＝＝2，故选B. 4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝___________． －2n或(－2)n 解析：∵a1＝－2，a3＝－8，∴＝q2＝＝4，∴q＝±2，∴an＝(－2)·2n－1或an＝(－2)·(－2)n－1，即an＝－2n或an＝(－2)n. 题型一　等比数列的基本运算 例1　在等比数列{an}中 (1)a4＝2，a7＝8，求an； 解析：(1)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解析：(2)方法一：由已知可得 由得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. (1)由＝q3便可求出q，再求出a1，则an＝ (2)两个条件列出关于a1，q的方程组，求出a1，q后再由an＝1求n；也可以直接先由q＝入手． 等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　) A．－2 B．1或－2 C．1 D．1或2 (2)在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4， 即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2，故选B. (2)设公比为q， 由已知得6＋6q＋6q2＝78， 即q2＋q－12＝0 解得q＝3或q＝－4(舍去)． ∴a2＝6q＝6×3＝18.故选B. 题型二　等比数列与函数 例2　已知是等比数列{an}图象上的两点，求数列{an}的通项公式并判断{an}的单调性． 解析：由题意知a2＝，a5＝ ∴q3＝＝ ∴q＝ ∴an＝a2·qn－2＝＝3× ∴a1＝3 ∵a1>0，0<q<1 ∴数列{an}单调递减． 等比数列的单调性 (