1.1.2数列的函数特性课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1．2　数列的函数特性 南阳市五中 要点一　数列与函数 可以把一个数列视作定义在________集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为________，k＝1，2，3，…. 正整数 (k，ak) (1)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题． (2)要注意数列的特殊性(离散型)．因为数列的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合． 要点二　数列的增减性 1．递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递增数列． 2．递减数列：如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递减数列． 3．常数列：如果数列{an}的各项都________，那么这个数列叫作常数列． 大于 an＋1>an 小于 an＋1<an 相等 数列增减性与函数增减性的区别 数列是一种特殊的函数，其定义域是N＋(或N＋的有限子集)，自变量的取值是离散的，而函数的定义域通常是连续的，所以数列与函数的增减性有所不同．例如，函数f(x)＝x2－2x在其定义域上没有增减性．只能说f(x)在(－∞，1)上减少，在(1，＋∞)上增加，但对于数列{an}，若an＝n2－2n，则其一定是递增数列． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列若用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点. (　　) (2)在数列{an}中，若存在m，n∈N＋，当m<n时有am<an成立，则数列{an}是递增数列. (　　) (3)如果函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则数列an＝f(n)为单调递增数列．(　　) (4)数列1，3，5，7，…，2n－1可以看作函数y＝2x－1，当x取1，2，3，…，n时，对应函数值的集合. (　　) √ √ × × 2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　) A．递增数列　B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 答案：A 解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A. 3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．1，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，…， 答案：C 解析：A、B是递减数列，D是有穷数列，故C正确． 故选C. 4．有下列数列： ①1，2，22，23，…； ②1，0.5，0.52，0.53，…； ③7，7，7，7，…. 其中递增数列是____，递减数列是____，常数列是______．(填序号) ① ② ③ 题型一　根据图象判断数列的增减性 例1　已知数列{an}中，an＝n2－8n. (1)画出{an}的图象； (2)根据图象写出数列{an}的增减性. 解析：(1)列表如下. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象. (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)， (6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，… 图象如图. (2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降的，所以{an}既不是递增数列，也不是递减数列. 画数列图象通常用描点法，与画函数图象的描点法有类似之处，其步骤是：(1)列表；(2)描点．但要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋. 跟踪训练1　已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增、减性． 解析：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的． 题型二　判断数列的增减性 例2　已知数列{an}的通项公式是an＝，试判断数列{an}的增减性． 解析：解法一　因为an＝(n∈N＋)，所以an＋1＝， 于是an＋1－an＝＝>0， 所以an＋1>an，故{an}是递增数列． 解法二　因为an＝，所以an＋1＝， 当n∈N＋时，an>0，an＋1>0， 于是＝÷＝＝>1， 所以>1，从而an＋1>an，故{an}是递增数列． 解法三　令f(x)＝＝， 因为当x∈[1，＋∞)时，y＝是递减的，所以f(x)＝是递增的， 从而数列{an}是递增数列． 判断数列增减性的方法 (1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势； (2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－