4.3.3 余角和补角（课件）-七年级数学上册同步辅导微课（人教版）

几何图形初步 余角和补角 主讲：黄继彬 1.余角的定义:如果两个角的度数之和为90°,那么 这两个角互为余角，简称互余.其中 一个角是另一个角的余角. 若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互余; 其中∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角; 反之,若∠1与∠2互余,则∠1+∠2=90°. 1 2 例如: 2.补角的定义:如果两个角的度数之和是180°,那么 这两个角叫做互为补角,简称互补.其 中一个角是另一个角的补角. α β 若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互补; 其中∠α是∠β的补角,∠β也是∠α的补角; 反之,若∠α与∠β互补,则∠α+∠β=180°. 例如: 3.同角或等角的余角相等. 1 2 3 理由:如图,∠1与∠2互余,∠1与∠3也互余,则有 ∠1+∠2=90°, ∠1+∠3=90° 从而∠2=90°-∠1, ∠3=90°-∠1 ∴∠2=∠3 类似地: 若∠1＋∠2＝90°,∠3＋∠4＝90°,且∠1＝∠3 则∠2=∠4. 4.同角或等角的补角相等. 理由:如图,∠α与∠β互补,∠α与∠γ也互补,则有 ∠α+∠β=180°, ∠α+∠γ=180° 从而∠β=180°-∠α, ∠γ=180°-∠α ∴∠β=∠γ α β γ 类似地: 若∠1＋∠2＝180°,∠3＋∠4＝180°,且∠1＝∠3 则∠2=∠4. )30° )45° B O A 东 西 北 南 5.方位角:指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 90°的角,叫做方位角. 点B在点O的 南偏西45°（西南方向） 点A在点O的 北偏东30° 注:北偏西45°,又叫西北方向;南偏西45°,又叫西南方向； 南偏东45°,又叫东南方向;北偏东45°,又叫东北方向. =90°-62°32′=27°28′ 例1.已知∠α=62°32′,∠α的余角和补角各是多少度？ 解:∠α的余角=90°-∠α ∠α的补角=180o -∠α =180o - 62°32′=117°28′ 答:这个角的余角为27°28′,补角117°28′. 的度数 30° 70°25′35″ 90° x° (0﹤x﹤180) 的余角 45° 的补角 120° 150° 45° 135° 30° (90 –x)° (180-x)° 60° 90° 60° 19°34′25″ 109°34′25″ 注意:的补角= 的余角+ 90° 0° 例2.填空: 提示:余角和补角都是相对而言的. 例3.如图,A、O、B三点在同一条直线上,∠AOC=∠BOD,问其中 哪几对角互为补角?为什么? 解：∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=180° ∴∠AOC与∠BOC互补 ∵∠BOD+∠AOD=∠AOB=180° ∴∠AOC+∠AOD=180°, ∴∠AOC与∠AOD互补, 答:互补的角有4对分别为:∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠AOD, ∠BOD与∠AOD,∠BOD与∠BOC. ∠BOD+∠BOC=180° ∠BOD与∠BOC互补 又∵∠AOC=∠BOD ∴∠BOD与∠AOD互补 A O B C D 例4.如图,已知∠AOC=∠BOD=90°,指出图中其他相等的角, 并说明理由. O D C B A ∴∠1=∠3,即∠AOB=∠COD (同角的余角相等) 解:∠AOB=∠COD 理由:∵∠AOC=∠BOD=90° ∴∠1+∠2=90°, ∠3+∠2=90° 即∠1与∠3都是∠2的余角 例5.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍,求该角的度数. 答:这个角为45°. 解:设这个角为x°,则它的余角是(90-x)°,它的补角是 (180-x)°,依题意得 180-x=3(90-x), 解得 x=45. )1 )2 )3 大象馆 海洋馆 狮虎园 东 南 西 北 猴山 ● ● ● ● 例6.小倩周末去动物园玩,她站在猴山的位置,其中大象馆、 海洋馆、狮虎园分别在猴山的北偏东30°、南偏西54°、 以及西北方向,请画出表示这些景点的射线. 解： 30° 45° 54° (1)30°、70°与80°的和为平角,所以这三个角互余;( ) (2)一个非零角的余角必为锐角; ( ) (3)一个角的补角必为钝角; ( ) (4)90°