三角知识点总结讲义-2023届高三数学一轮复习

解三角形 1. 正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中R是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）． 2）化边为角：； 3）化边为角： 4）化角为边： 5）化角为边： 3.△ABC中，已知锐角A，边b，则 A b ①时，B无解； ②或时，B有一个解； ③时，B有两个解。 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二.三角形面积 1. 2. ,其中是三角形内切圆半径. 3. , 其中, 4. ,R为外接圆半径 5.,R为外接圆半径 三.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 2.变形： 注意整体代入，如： 3． 利用余弦定理判断三角形形状： 设、、是的角、、的对边，则： ①若 ，所以为锐角 ②若 ③若 ，所以为钝角，则是钝角三角形 四、应用题 1.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度. 2.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 5、 三角形中常见的结论 1） 三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2） 三角形三边关系： 两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 3） 在同一个三角形中大边对大角： 4) 三角形内的诱导公式： 5) 三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 内心——三角形三内角的平分线相交于一点 题型一. 正弦定理 考点1.基本量运算 1． 在△ABC中，2．在△ABC中，cosA，sinB，a＝20，则b的值为　 2． 角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A＝　 3．在△ABC中，，，． （1）求a的值； （2）求cos2C的值． 考点2.边角互化 1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为　 2. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则cosB＝（　　） A． B． C． D．0 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinAacosB＝2bc，则A＝（　　） A． B． C． D． 考点3.内角和应用 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c，则C＝（　　） A． B． C． D． 2．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则A＝（　　） A． B． C． D． 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b．c，已知cos（A﹣C）+cosB＝1，（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，则C＝　 题型二. 余弦定理 1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知，且a2﹣c2＝2b，则b＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 题型三.高、中点、角平分线问题 1．在△ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC，b，c＝2，D为BC的中点． （Ⅰ）求cos∠BAC的值； （Ⅱ）求AD的值． 3. 已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为 题型四. 周长、面积问题 1．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，b＝3，B．则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．直