（挑战压轴）专项2.9 二次函数与平行四边形有关问题-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

（挑战压轴）专项2.9 二次函数与平行四边形有关问题 【方法技巧】 知识总结： 1. 线段中点坐标公式 2.平行四边形顶点公式： 分类： 1. 三个定点，一个动点问题 已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论； 2. 两个定点、两个动点问题 这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。 方法总结： 这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。 【考点1 三定一动类型】 1.（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标； （3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为x＝1， ∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P， 此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC， 此时△BPC的周长最短， ∵点C的横坐标是2， yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3， ∴C（2，﹣3）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0）， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1， 当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2， ∴P（1，﹣2）； （3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形． ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y）， ①当AB为对角线时， 则， 解得：， ∴E（0，3）； ②当AC为对角线时， 则， 解得：， ∴E（﹣2，﹣3）； ③当BC为对角线时， 则， 解得：， ∴E（6，﹣3）． 综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）． 2.（2022•宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求经过A、D两点的直线的表达式； （3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c， 将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+4x﹣3； （2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴D（2，1）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x﹣1； （3）设P（t，t﹣1）， ①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4， ∴P（4，3）； ②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t， ∴t＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣3）； ③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3， ∴t＝2， ∴P（2，1）， 此时﹣3+0≠1+0， ∴P（2，1）不符合题意； 综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）． 3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点，连接AC． （1）求抛物线的表达式； （2）点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值； （3）若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2