（挑战压轴）专项2.8 二次函数与等腰（直角）三角形有关问题-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

（挑战压轴）专项2.8 二次函数与等腰（直角）三角形有关问题 【方法技巧】 直角三角形的存在性 【方法1 几何法】“两线一圆” （1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角） 如何求得点坐标？以为例：构造三垂直． 【方法2 代数法】点-线-方程 1.（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC． （1）求抛物线的解析式； （2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3． （4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴D（﹣1，﹣4）， 设E点坐标为（0，m）， ∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20， 当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2， ∴m2+9+20＝m2+8m+17， 解得m＝， ∴此时点E的坐标为（0，）； 当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2， m2+8m+17+20＝m2+9， 解得m＝﹣， ∴此时点E的坐标为（0，﹣）； 当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2， m2+9+m2+8m+17＝20， 解得m＝﹣1或m＝﹣3， ∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）． 综上所述，符合题意的点E的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）． 2.（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）， ∴3a＝3， ∴a＝1， ∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点为（2，﹣1）； （2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下： ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 设E（2，t）， ∵△BCE是直角三角形， ∴BE⊥CE， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3，BE＝，CE＝， ①当BC为斜边时， ∴18＝（）2+（）2， 解得t＝， ∴E点坐标为（2，）或（2，）； ②当BE为斜边时， ∴18+（）2＝（）2， 解得t＝5， ∴E点坐标为（2，5）； ③当CE为斜边时， ∴18+（）2＝（）2， 解得t＝﹣1， ∴E点坐标为（2，﹣1）； 综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）． 3.（2022•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx﹣图象上． （1）求点B的坐标： （2）求抛物的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D． ∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠BCD＝∠CAO， 又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC， ∴△BCD≌△CAO（AAS）， ∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2， ∴点B的坐标为（﹣3，1）； （2）抛物线y＝ax2+bx﹣经过点（1，﹣1），点B（﹣3，1）， 则， 解得， 所以抛物线的解析式为y＝x2+x﹣； （3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点； 则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1， 过点P1作P1M⊥x轴， ∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，