（挑战压轴）专项2.7 二次函数与等腰三角形有关问题-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

（挑战压轴）专项2.7 二次函数与等腰三角形有关问题 【方法技巧】 等腰三角形的存在性问题 【方法1 几何法】“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 注意：若有重合的情况，则需排除． 以点 C1 为例，具体求点坐标： 过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1， 又 类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法． 【方法2 代数法】点-线-方程 表示点：设点C5坐标为(m,0)，又A（1,1）、B（4,3）， 表示线段： 联立方程：，， 1．（2021秋•台山市期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标． 【解答】解：（1）令，解得：x1＝2，x2＝﹣4， ∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为点（﹣4，0）， 令x＝0，得y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， 即点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（﹣4，0）、（0，4）； （2）设：P点的坐标为（m，0）， ∵B（﹣4，0），C（0，4）， ∴，BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16， ①当BP＝CP时，由题意可得（m+4）2＝m2+16， 解得m＝0， 此时，P点的坐标为（0，0）， ②当BP＝BC时，由题意可得， 解得或； 此时点P的坐标为或， ③当CP＝CB时，由题意可得， 解得m＝4或m＝﹣4（舍去）； 此时P点的坐标为（4，0）． 综上所述，所求P点的坐标为（0，0）或（4，0）或或． 2．（2021秋•陵城区校级月考）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； 【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c， 解得：b＝﹣4，c＝3， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； （2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OC＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）； 3．（2021秋•谷城县期中）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）∵y＝﹣x2+x+2， ∴y＝﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是直线x＝． ∴OD＝． ∵C（0，2）， ∴OC＝2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD＝． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1＝DP2＝DP3＝CD． 作CM⊥x对称轴于M， ∴MP1＝MD＝2， ∴DP1＝4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； 4．（2021秋•灵宝市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）存在． y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1． ①若以CD为底边，则P1D＝P1C， 设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 因此x2+（3﹣y）