（挑战压轴）专项2.10 二次函数中角度有关问题（三大类）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

（挑战压轴）专项2.10 二次函数中角度有关问题（三大类） 【方法技巧】 类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。 如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。 分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。 类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）； 例2如图，抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标； 解析：通过已知条件易得抛物线表达式为及各定点坐标，第二问中的F有两种情况：x轴上方一个，x轴下方一个。在Rt⊿BDE中，可知tan∠EDB=，则tan∠FAB=，过F作x轴垂线，构造∠FAB所在直角三角形，接着通过设F点坐标，表示FH和AH长，根据tan∠FAB=列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F坐标，由于表示FH时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F就都求出来了。 还可以从图形的角度发现一对反8的相似三角形，推出AF与BD是垂直关系，进而求出AF的直线表达式与抛物线表达式联立求出交点F的坐标，这也是不错的方法。 另一种是所求角的边不与坐标轴平行。 例3:如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-x+bx+c 经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）x轴上有一点E（，0），连接CE，点D为直线AC上方抛物线上一动点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠AEC？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。 分析：通过已知条件易得抛物线表达式为y=-x-x+2及各定点坐标。第二问要分类讨论，当∠CDF =∠AEC或是∠DCF =∠AEC时，先来讨论∠CDF =∠AEC的情况。在Rt⊿COE中，可知tan∠AEC=，当∠CDF =∠AEC 时，tan∠CDF=,即CF:DF=4：3，然后，在直角顶点F处构建一线三垂直模型，由CF:DF=4：3，设CF=3m,DF=4m，由△CFH∽△CAO可得FH=8m，同理DG=6m，由GI=HO=2-4m，可得DI=2+2m,从而写出D点坐标（-11m,2+2m）,将其代入抛物线表达式求得D点坐标。 或是在A处作垂直构建一线三垂直模型，利用相似写出K点坐标，在求出CK直线表达式与抛物线表达式联立从而求出交点D 的坐标。 当∠DCF =∠AEC 时,可用同样方法求出D点坐标。 类型三：二倍角或半角的存在性问题 （1） .二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。 （2） 半角的构造方法 如图，已知，构造半角可以用下面两种方法： 方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB至D，使得BD=BA，则，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠D的值，从而进行相关计算。 方法二：如图，直接做的角平分线BE，若AC、BC的长度已知，则容易求出tan∠EBC的值。 1．（2022秋•红安县期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4； （2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F， ∵B（8，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+4， 设D（m，﹣m2+m+4）， 则E（