2023年九年级数学中考专题训练——相似三角形的判定与性质综合

中考专题训练——相似三角形的判定与性质综合 1.在菱形中,,,点F是菱形对角线上的一点. (1)如图①,当,时,求证:四边形为菱形; (2)在(1)的条件下,当 时,将四边形绕点B顺时针旋转至图②所示的位置,连接 ,.求证: 2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,连接AF交CG于点K,H是AF的中点,连接CH. (1)求tan∠GFK的值; (2)求CH的长. 3.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在BC的延长线上,且CF=BE,连接AC,DF. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)若∠ACD=90°,AE=4,CF=2,求. 4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F,切点为G,连接AG交CD于点K. (1)求证:; (2)若ACEF,试判断线段KG,KD,GE之间的数量关系,并说明理由; 5.如图,在中,,以为直径的交于点,是的中点,连接、. (1)求证:; (2)判断与的位置关系,并说明理由; (3)设与的交点为,若,,求的长. 6.在半径为5的圆中,弦,点是劣弧上的动点(可与、重合),连接交于点. (1)如图1,当时,求的长度; (2)如图2,过点作,垂足为点,设,求的长度(用含的式子表示),并指出的取值范围; (3)如图3,设,连接.求的取值范围. 7.已知菱形ABCD,∠ABC=α,P为射线AB上的一点,以BP为边作菱形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC. (1)如图(1),若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC; (2)若点P在线段AB上,且α=120°. ①如图(2),连接AC,BD相交于点O,当P为AB的中点时,判断四边形AEBO的形状,并说明理由; ②如图(3),设AB=2a,BP=2b,当EP平分∠AEC时,求的值. 8.已知ABC中,∠ABC=90°,点D、E分别在边BC、边AC上,连接DE,DF⊥DE,点F、点C在直线DE同侧,连接FC,且. (1)点D与点B重合时, ①如图1,k=1时,AE和FC的数量关系是 ,位置关系是 ; ②如图2,k=2时,猜想AE和FC的关系,并说明理由; (2)BD=2CD时, ①如图3,k=1时,若AE=2,=6,求FC的长度; ②如图4,k=2时,点M、N分别为EF和AC的中点,若AB=10,直接写出MN的最小值. 9.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(﹣3,4),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象相交于A,P两点. (1)求a,b的值与点A的坐标; (2)求证:△CPD∽△AEO; (3)求sin∠CDB的值. 10.如图,在中,,,,过点作,点为射线上一点,连接交于点,点为中点,在线段和上分别取点,(不与,重合),使得,连接. (1)如图,若,求的长度. (2)设,,求关于的函数关系式,并写出的取值范围. (3)如果四边形有一组对边平行,求的长度. 11.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,点F是射线BC上一动点(不与点B重合),连接AF交DE于点G. (1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:△ABF≌△DAE; (2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长; (3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由. 12.图形的探究中,常用三角形通过一些图形变换,将图形拼在一起,以探究其线段,角之间的关系,小李用两个三角形,,,.开展如下的探究活动: [探究1]如图1,两个三角形如图1摆放,点B在CD上时,求证:; [探究2]如图2,将绕点C逆时针旋转旋转,过点D作交AB于点F.线段DF与AF有何数量关系?并说明理由; [探究3]在探究2的条件下,若AB分别交CD于M,AB的延长线CE于点P(如图3),线段PM,PF,PA有何数量关系,并加以证明. 13.如图1,在等腰△ABC中,AB=AC=12,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,点M为AC边上一点. (1)若.求的长度; (2)如图2,连接DM,当DM⊥AC时,求证:DM是⊙O的切线; (3)如图3,在(2)的条件下,延长MD,交AB的延长线于N,若DN=8,求MC的长. 14.是的外接圆,AB是直径,D是AC上一点,直线OD与相交于E,F两点,P是外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足,. (1)求证:PC是的切线; (2)证明:; (3)若,,求DE的长. 15.如图,已知,OT是∠MON的平分线,A是射线OM上一点,OA=8cm.动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1c