（挑战压轴）专项7.1 锐角三角函数实际应用-背靠背模型-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（苏科版）

（挑战压轴）专项7.1 锐角三角函数实际应用-背靠背模型 【方法技巧】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 1．（2022秋•长春期中）如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（　　） A．900m B．900m C．900m D．1800m 【答案】B 【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°， 又∵∠BCD＝105°， ∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°， 在R△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝1800m， ∴CE＝BC＝900（m）， 在Rt△CDE中，∠DCE＝45°， ∴CD＝CE＝900（m）， 故选：B． 2．（2021秋•任城区期中）如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sinA＝，则斜道AC的长度是（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝10米，sinA＝， 则＝，即＝， 解得：AC＝30（米）， 故选：B． 3.（2021•阜新）如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 　 　m（结果精确到1m，≈1.7）． 【答案】57 【解答】解：如图，过A作AE⊥CD于E， 则AB＝CE， 在△ACE中，∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，EC＝AB＝21米， ∴AC＝21×2＝42（米）， ∴AE＝＝＝21≈35.7（米）， 在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠DAE＝45°， ∴AE＝DE＝35.7米， ∴乙楼DC＝CE+ED＝21+35.7＝56.7≈57（米）． 答：乙楼的高约为57米． 4.（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为 　 　米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）． 【答案】87 【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C， 设PC＝x米， 在Rt△APC中，∠APC＝30°， ∴AC＝PC•tan30°＝x（米）， 在Rt△CBP中，∠CPB＝60°， ∴BC＝CP•tan60°＝x（米）， ∵AB＝200米， ∴AC+BC＝200， ∴x+x＝200， ∴x＝50≈87， ∴PC＝87米， ∴点P到赛道AB的距离约为87米， 故答案为：87． 5.（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　 海里（结果保留根号）． 【答案】25　 【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示： 由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里， 在Rt△APC中，cos∠APC＝， ∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里）， 在Rt△PCB中，cos∠BPC＝， ∴PB＝＝＝25（海里）， 故答案为：25． 6．（2022春•江北区校级期中）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B须经过C处才能到达．测得景点B在景点A的北偏东30°方向，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．当地政府为了方便游客浏览，打算修建一条从景区A到景区B的笔直的跨湖栈道AB． （1）求点C到直线AB的距离； （2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？ （结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732） 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得，∠CAD＝30°，AC＝600米， 在Rt△ACD中，sin30°＝， 解得CD＝300， ∴点C到直线AB的距离为300米． （2）在Rt△ACD中，cos30°＝， 解得AD＝， 在Rt△BCD中，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，CD＝300米， ∴BD＝300米，BC＝米， ∴AB＝AD+BD＝（300+）米，AC+BC＝（600+）米， ∵600+﹣（300+）≈205（米）， ∴从景点A到景点B走栈道比原路线少走205米． 7．（2022春