2023年九年级数学中考专题训练——圆的切线的证明

中考专题训练——圆的切线的证明 1.如图,是的直径,平分交于点,过点的直线垂直于交的延长线于点,弦交于点,连接. (1)求证:是的切线; (2)若,试证明平分. 2.已知:如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点P在AB的延长线上,且∠A=∠P=30. (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)连接BC,若AB=4,求△PBC的面积. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的QO分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于点F. (1)求证:DF是⊙O的切线; (2)求证:∠EDF=∠DAC. 4.如图,AB是⊙O的直径,F是⊙O上一点,连接FO、FB.C为中点,过点C作CD⊥AB,垂足为D,CD交FB于点E,CG∥FB,交AB的延长线于点G. (1)求证:CG是⊙O的切线; (2)若BOF=120°,且CE=4,求⊙O的半径. 5.如图,点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点,以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F,在线段CD上取一点E,连接EF,使EC=EF. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若cos∠CAD=,AF=6,MD=2,求FC的长. 6.如图1,为半圆的直径,点为圆心,为半圆的切线,过半圆上的点作交于点,连接. (1)连接,若,求证:是半圆的切线; (2)如图2,当线段与半圆交于点时,连接,,判断和的数量关系,并证明你的结论. 7.如图,中,,是边上的一点,且.是上的一点,以为直径的经过点. (1)求证:是的切线; (2)若的弦心距为1,.求的长. 8.如图,在等腰中,,以为直径作交于点,过点作,垂足为. (1)求证:是的切线. (2)若,,求的长. 9.如图,在△ABC中,点O在AB边上,以O为圆心的圆经过A,C两点,交AB于点D,且2∠A+∠B=90°, (1)求证:BC是⊙O的切线. (2)若OA=6,且OD=BD,求AC的长. 10.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点D在弦AC的延长线上,连接BD,恰有∠DBC=∠DAB. (1)求证:BD是⊙O的切线; (2)若点E是弧AC的中点,且∠EAB=75°,求∠D的度数. 11.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O,交底边BC于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E. (1)求证:DE为⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长. 12.如图,AB是⊙O的直径,AC平分∠DAB交⊙O于点C,过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P,弦CE交AB于点F,连接BE. (1)求证:PD是⊙O的切线; (2)若PC=PF,试证明CE平分∠ACB. 13.如图,是的直径,是弦延长线上一点,切线平分于. (1)求证:是的切线; (2)若,,求的直径. 14.如图,点是直线与的交点,点在上,垂足为,与交于点,平分,. 求证:是的切线; 若,求图中阴影部分的面积(结果保留和根号). 15.如图,内接于,过点的切线与的延长线相交于点,且,点在的延长线上,,. 求证:为的切线. 若,求的长. 16.如图,中,,以为直径的交于点,交于点,过点作于点,交的延长线于点. (1)求证:是的切线; (2)已知,,求和的长. 17.如图,PA与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B.连接PB,AO,并延长AO交⊙O于点D,与PB的延长线交于点E. (1)求证:PB是⊙O的切线; (2)若OC=3,AC=4,求sinE的值. 18.如图,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E. (1)求证:PB为⊙O的切线; (2)试探究线段AD、AB、CP之间的等量关系,并加以证明. 19.如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点. 求证:(1)BC是⊙O的切线; (2)EM=FM. 20.如图△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E. (1)求证:点D是AB的中点; (2)求证:DE与⊙O相切; (3)若BC=18,AB=12,求DE的长. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.(1)见解析;(2)见解析 【分析】(1)连接,先证明得到,然后利用平行线的性质得到,从而根据切线的判定定理得到是的切线; (2)先证明,再根据等腰三角形的性质得,然后利用,从而可判断进一步证明结论. 【解析】证明:(1) 连接,如图, ∵平分, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴是的切线; (2)∵, ∴, ∵为直径, ∴,即, ∴, 而, ∴, ∵, ∴