16.2 二次根式的运算（知识点+方法+题型）-【三维同步讲练】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教版）

16.2二次根式的运算 1.掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 3.理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 4.会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 知识点1　 二次根式的乘法★★★ （1）计算法则：（）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变； （2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （3）推广 ①（a≥0，b≥0，c≥0）；②； ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 知识点2　 二次根式的除法★★☆ 计算公式：（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义；若b=0，则无意义。 （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如必须先化成，以免出现=×这样的错误。 （3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。 知识点3　 积的算术平方根★★☆ （1）计算法则：（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 注： （1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如≠．。 （2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。 推广：=．．．（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0） 知识点4　 商的算术平方根★★☆ （1）（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要≥0即可。例如计算，不能写为，而应写为。 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 常见的二次根式化简：①；② ③ 知识点5　 最简二次根式★☆☆ 概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 注意，对于最简二次根式的概念我们可作如下解释： （1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式； （2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ==2，==xy2 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数 化成假分数 ===或==== 若被开方数中含有小数，应先将小数 化成分数 ===或==== 被开方数是多项式的要先进行因式分解 ===（x2+y2） 拓展： 分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。 分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。 分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。 常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 【例题精析1】 计算的结果是　　 A．16 B． C．4 D． 【例题精析2】 计算的结果是　　 A． B．3 C． D． 【例题精析3】 下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【例题精析4】 化简：　　． 【例题精析5】 分母有理化　　． 【对点训练1】 下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【对点训练2】 在式子、、、中，是最简二次根式的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点训练3】 计算：　　． 【对点训练4】 计算：　　． 【对点训练5】 　　． 【对点训练6】 计算：　　． 【对点训练7】 化简的结果是　　． 【对点训练8】 计算：　　． 【对点训练9】 计算：　　． 【对点训练10】 分母有理化：　　． 【对点训练11】 比较大小：　　 【对点训练12】