16.1 二次根式（知识点+方法+题型）-【三维同步讲练】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教版）

16.1二次根式 1.理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2.理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简． 知识点①　二次根式★★☆ 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)�的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。 （2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3） 式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。 （4） 在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。 （5） 形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2。 知识点②　使二次根式有意义的条件★★★ 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数． 学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【例题精析1】 下列式子是二次根式的有　　个 ；；；；； A．2 B．3 C．4 D．5 【例题精析2】 下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【例题精析3】 要使式子有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【例题精析4】 若二次根式有意义，且是一个完全平方式，则满足条件的值为　　 A． B． C．12 D． 【对点训练1】 给出下列各式：；②6；；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【对点训练2】 要使式子有意义，的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【对点训练3】 下列二次根式中，的取值范围是的是　　 A． B． C． D． 【对点训练4】 式子有意义的条件是　　． 知识点③　二次根式的性质★★☆ 二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展 （a≥0） 的性质 即双重非负性 一个非负数的算术平方根是非负数。 （1）二次根式的非负性应用较多， 如：+=0， 则a+1=0，b-3=0，即a=-1，b=3； 又如+，则x的取值范围是 ，解得x=a； （2）具有非负性的性质：①a2≥0； ②｜a｜≥0；③≥0（a≥0）； （3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0； （4）的最小值为0；例如：当a=1时，有最小值是2. （a≥0） 的性质 =a（a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 正用公式：（）2=5；（）2=m2+1 逆用公式：若a≥0，则a=（）2， 如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2=(a+)(a-) 的性质 或 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （1）正用公式： =｜3-π｜=3-π； （2）逆用公式：=3=3 （3）化简形如的式子时，先转化为 ｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。 注意：与的区别与联系： 区别 表示的意义不同 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a2的算术平方根 取值范围不同 a≥0 a为任意实数 读法不同 读作“根号a的平方”或 “a的算术平方根的平方” 读作“根号a2”或 “a的平方的算术平方根” 被开方数不同 被开方数是a 被开方数是a2 运算顺序不同 先开放后平方 先平方后开方 运算结果，运算依据不同 （）2=a，依据平方与开平方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到 作用不同 （）2=a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 =｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内 联系 ①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 ②结果都是非负数；③a≥0时，（）2= 【例题精析1】 设，为实数，且，则的值是　　 A．1 B．2 C．4 D．5 【例题精析2】 已知，则二次根式化简后的结