第12章 全等三角形 三角形全等证明与计算专题 2022-2023学年人教版数学八年级上册

第12章 全等三角形——三角形全等证明与计算专题 一、角、边转化 例1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD－BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． ( C B A E D 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 ) ( A E D C B ) 练习： 1、.已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE 求证：BE⊥CD 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC⊥BE． 二、二次全等问题 例2、 已知：如图，点A，E，F，C在同一直线上，AECF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接AB，CD，BD，BD交AC于点G．若ABCD， 求证：△DEG≌△BFG． 练习 已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F．求证：△CEN≌△CFB． 例3、已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF45°，延长CB到点G，使BGDE，连接EF，AG．求证：EF=DE+BF 练习： 如图，已知△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，且BD=DC，∠DBC=∠DCB=30°，又点M、N分别在AB、AC上，∠MDN=60°，小明为探求△AMN的周长，在AC的延长线上截取了CP=BM，并连接DP， （1）试说明：MN=NP； （2）求出△AMN的周长 三、倍长中线法 例4、已知,△ABC中,AB=4 cm,BC=6 cm,BD是AC边上的中线,求BD的取值范围. 练习： 1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于点F，求证：AF=EF 2、已知：如图,AD,AE分别是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD. 求证：AE=AC. 四、作平行线 例5、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 五、连接构全等 例6、已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。 ( D B Cc A F E ) 练习： 如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．　　　　　　　　　　　　　　　　　 六、延长角平分线垂线段 例7、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1=∠2 ( B C D E A 2 1 )求证：BD＝2CE． 练习：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD． 七、截长补短 例8、已知，如图，△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC=AD=CE，求证：DE=CD． 练习： 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BDCD，CE与BD交于F，连接AF． 求证：CF=AB+AF． 2、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系? 八、利用角平分线 如图，已知D为△ABC中BC边上的中点，∠ADB、∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF。【求证:BE+CF＞EF. 练习： 1、 如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点， 求证;AB-AC＞PB-PC 2、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明． 　　 ( D B E A C )3、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $