1.4.2 充要条件课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2 充要条件 新知初探·课前预习 题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 课程标准 (1)理解充要条件的意义.(2)会判断一些简单的充要条件问题.(3)能对充要条件进行证明. 教 材 要 点 要点 充要条件 1.如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有_,又有_,就记作_,此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为_条件❶. 2.如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为 _条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 助 学 批 注 批注❶ p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. 基 础 自 测 1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( ) (2)符号“⇔”表示具有等价性.( ) (3)若p q和q p有一个成立,则p一定不是q的充要条件.( ) (4)数学中的每一个定义都是一个充要条件.( ) √ √ √ √ 2.设p:“两个三角形相似”,q:“两个三角形的三边对应成比例”,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 解析:两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例,即p⇔q, 故p是q的充要条件. 3.在△ABC中,AB>AC是∠C>∠B的_条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 答案:C 解析:因为在△ABC中,边大则角大,角大边也大, 所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件. 4.若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的_条件. 充要条件 解析:因为p⇔q,q⇔r,所以p⇔r, 所以p是r的充要条件. 题型探究·课堂解透 题型 1 充要条件的判断 例1 (多选)在下列四个结论中,正确的有( ) A.“x2>4”是“x3<-8”的必要不充分条件 B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不为0”的充要条件 D.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件 答案:AD 解析:对于结论A,由x3<-8⇒x<-2⇒x2>4,但是x2>4⇒x>2或x<-2⇒x3<-8或x3>8,不一定有x3<-8,故A正确;对于结论D,由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,D正确. 方法归纳 判定充要条件常用方法 巩固训练1 (1)命题“x=1且y=2”是命题“x2+y2=2x+4y-5”的( )条件 A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 答案:A 解析:由x2+y2=2x+4y-5, 可得(x-1)2+(y-2)2=0, 解得x=1且y=2, 所以“x=1且y=2”是“x2+y2=2x+4y-5”的充要条件. (2)(多选)设r是p的必要条件,r是q的充分条件,s是r的充分必要条件,s是p的充分条件,则下列说法正确的有( ) A.r是q的必要条件 B.s是q的充分条件 C.s是p的充分必要条件 D.p是q的既不充分也不必要条件 解析:由题意,p⇒r,r⇒q,r⇔s,s⇒p,则p⇔r⇔s⇒q. 答案:BC 题型 2 充要条件的证明 例2 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明:充分性:由ac<0可得b2-4ac>0及x1·x2=<0, ∴方程ax2+bx+c=0,有两不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性:由于方程ax2+bx+c=0,有一正根和一负根,∴Δ=b2-4ac>0,x1·x2=<0,∴ac<0.综上可知,关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 方法归纳 充要条件的证明思路 根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地,证明“p成立的充要条件为q”: ①充分性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p; ②必要性:把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q. 巩固训练2 求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx, x=0时y=0,函数图象过原点. ②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点, 所以x=0时y=0,得0=k·0+b,b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 题型 3 充要条件的探求 例3 已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的