第06讲 平面向量数乘运算的坐标表示-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第06讲 平面向量数乘运算的坐标表示 1．数乘运算的坐标表示 （1）文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. （2）符号表示：坐标表示:,则. 2．平面向量共线的坐标表示 （1）设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； （2）用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 考点1：向量共线的判定与证明 【例1】若=(6，6)，=(5，7)，=(2，4)，则下列结论成立的是（ ） A．与共线 B．与共线 C．与共线 D．与共线 【例2】已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？ 向量共线的判定方法 提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减． 1．下列各组向量共线的是（ ） A． B． C． D． 2．以下与向量不平行的向量是（ ） A． B． C． D． 3．已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线． 4．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： （1）DE∥BC； （2）D、M、B三点共线. 考点2：已知平面向量共线求参数 【例3】已知向量，若，则（ ） A．3 B． C． D． 【例4】若点，，三点共线，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 （1）利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． （2）利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． 【变式训练】 1．若向量，，与共线，则实数k的值为（ ） A． B． C．1 D．2 2．（2021·四川宜宾·模拟预测（理））已知向量，若，则λ=（ ） A．-2或 B．-2或 C．-2 D． 3．已知向量，，． （1）求； （2）求满足的实数； （3）若，求实数. 4．设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 考点3：向量共线的综合应用 【例5】设两个向量和＝，其中λ、m、α为实数．若，则的取值范围是________． 【例6】 如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________． 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 1. 如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（ ） A． B． C． D． 2. 已知向量，，，且，则（ ） A． B． C． D． 3. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A． B． C． D． 4. 如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证：（1）； （2）D，M，B三点共线. 考点4：共线向量与线段分点坐标的计算 【例7】已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标． 变式训练 1．若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”其他条件不变，求点P的坐标． 2．若将本例条件改为“经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||”，求点A，B的坐标． 求点的坐标时注意的问题 （1）设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为. （2）求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论． （3）若＝λ(λ≠0)， ① 0＜λ＜1时，P在线段P1P2上； ② λ＝1时，P与P2重合； ③ λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上； ④ λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上． 1. 已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______． 2. 已知两点和，在直线上存在