第05讲 平面向量的正交分解及加减运算的坐标表示-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第05讲 平面向量的正交分解及加减运算的坐标表示 1．平面向量的正交分解 （1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. （2）在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的情形，向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，会给问题的研究带来方便. 2．平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底， 对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 【注意】 ① 对于，有且仅有一对实数与之对应 ② 两向量相等时，坐标一样 ③ ，， ④ 从原点引出的向量的坐标就是点的坐标 （2）点的坐标与向量的坐标的关系 区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号 ②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量. 联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3．平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）任一向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ，，则. 考点1：平面向量的坐标表示 【例1】如图，向量，，的坐标分别是________，___________，_____________． 【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形． （1）求向量a，b的坐标； （2）求向量的坐标； （3）求点B的坐标． 求点、向量坐标的常用方法 （1）求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． （2）求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． 1．已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)； ②若x1，x2，y1，y2∈R，=(x1,y1)≠(x2,y2)，则x1≠x2且y1≠y2； ③若x，y∈R，=(x,y)，且≠，则的始点是原点O； ④若x，y∈R，≠，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)． 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．平面直角坐标系中，的坐标（ ） A．与点的坐标相同 B．与点的坐标不相同 C．当与原点重合时，与点的坐标相同 D．当与原点重合时，与点的坐标相同 3．若、，则向量的坐标是（ ） A． B． C． D． 4．如果用分别表示轴和轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ） A． B． C． D． 考点2：平面向量的坐标运算 【例3】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【例4】若向量，，则（ ） A． B． C． D． 平面向量坐标(线性)运算的方法 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【变式训练】 1. 设若向量，且点坐标为，则点坐标为（ ） A． B． C． D． 2. 在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ） A．(－2，4) B．(4，6) C．(－6，－2) D．(－1，9) 3. 在中，，，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 4. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 考点3：平面向量坐标运算的应用 【例5】已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　) A．　　　B． C．(4,5) D．(1,3) 在平面几何问题中，可以