11.1.2三角形的高、中线和角平分线 学案 2022-2023学年人教版数学八年级上册

11.1.2三角形的高、中线和角平分线 一、导入新课 我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。 二、自主探究 （一）三角形的高 请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。 1.三角形高的定义：从三角形的一个 向它所对的边所在直线作 ， 和 之间的线段叫做该三角形这条边上的高。 注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。 2.请你再画出这个三角形AB 、AC边上的高，看看有什么发现？ 三角形的三条高 。 3.如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 归纳： ①锐角三角形：三条高都在三角形 ，其交点也在三角形 ； ②直角三角形：一条高在三角形 ，两条高在三角形 ，其交点为 。 ③钝角三角形：一条高在三角形 ，两条高在三角形 ，其所在直线的交点在三角形 。 例1.如图，AD⊥BC，则AD是图中哪些三角形哪条边上的高？ 例2.画出图中△ABC的三条高.（要求：标明字母，不写画法） 例3.如图，在△ABC中，BC＝4㎝，AC＝5㎝. （1）BC边上的高AD＝4㎝，试求△ABC的面积及AC边上的高BE的长； （2）试求AD：BE的值. 练习1.教材第5页练习1题； 练习2.教材第9页第8题 （二）三角形的中线 如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D， 所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或 BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC. 1.三角形中线的定义：连接三角形一个 和它对边的 ，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线。 2. 请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？ 三角的三条中线 。 3.如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 归纳：任何三角形的三条中线都 ，且该点在三角形 ，这个点叫做三角形的重心。 例4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若△ABD与△ADC 的周长差为3，AB＝8，则AC＝ . 例5.锐角三角形重心分割三角形面积问题 ( A B C D E F G )已知三角形ABC为锐角三角形，点D，E，P分别是三角形三边上的中点. ①S△ABD= S△ = S△ABC； S△ABE= S△ = S△ABC； S△AFC= S△ = S△ABC ②推广： （1）S△BGD S△CGD；S△AFG S△BFG；S△AEG S△CEG； （2）∵S△ADC= S△BCE=S△ABC ∴S△AEG S△BDG= S△ABC 练习1.如下左图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则图中阴影部分的面积是 . ( B A D C G )2.如下右图，D为BC中点，G为△ABC重心，S△DGC=1，则S△ABD= ，S△ABC= 归纳：三角形的任意一条中线，都能把三角形分成 相等的两部分，即 的三角形面积相等。 （三）三角形的角平分线 如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。 1.三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的 与它 的相交， 和 之间的 叫做这个三角形的角平分线。 思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？ 三角形的角平分线是 ，而角的平分线是 ，是不一样的。 2. 请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？ 三角形三个角的平分线 。 3.如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 归纳：任何三角形的三条角平分线都 ，且该点在三角形的 ，这点叫这个三角形的内心。 例6.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平 分线，∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是 . 例7.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，EF