大题训练小练11-湖南师范大学附属中学2023届高三数学一轮复习专项

1-1．已知是数列的前项和，，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求． 1-2．已知内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 1-3．在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足． （1）证明：平面； （2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值． 1-4．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛． （Ⅰ）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率； （Ⅱ）下午的正式比赛中： ①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数的分布列与数学期望； ②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？ 参考答案 1-1．已知是数列的前项和，，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：，得， ，，，． 数列是以公比为2，首项为4的等比数列．故数列是等比数列得证． （2）解：由（1）得，则． ． 1-2．已知内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， ，即，，． （2）由余弦定理得：， 为锐角三角形，且， ，可得，可得：， 解得，所以面积． 1-3．在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足． （1）证明：平面； （2）当多面体的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，， 在梯形中，，且，，分别为，的中点， ，， ，且，则四边形为平行四边形，得， 又，为的中点，为的中点， 又为的中点，，可得， 又平面，平面，平面； （2）解：在平面内，过作，交于， 平面平面，且平面平面，平面，， 平面，则为四棱锥的高， 又底面的面积确定，要使多面体的体积最大，即最大，此时． 过点作，可知，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，0，，，，，，1，， ，，，设是平面的一个法向量， 则，取，得；设为平面的一个法向量， 则，取，可得．． 由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为． 1-4．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛． （Ⅰ）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率； （Ⅱ）下午的正式比赛中： ①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数的分布列与数学期望； ②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？ 【答案】见解析 【详解】（Ⅰ）甲恰好胜2局的概率为； （Ⅱ）①甲所胜局数的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以甲所胜局数的分布列为： 0 1 2 0.16 0.192 0.648 则的数学期望，； ②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为， 采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为， 对于甲而言，显然“5局3胜制”更有利， 由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利． 1 学科网（北京）股份有限公司 $