大题训练小练9-湖南师范大学附属中学2023届高三数学一轮复习专项

1-1．在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）若，，求的面积； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 1-2．如图甲，在梯形中，，过点作且，将梯形沿折叠得到图乙.折叠后，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 1-3．已知数列满足，． （1）求，； （2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式； （3）已知，求证：． 参考答案 1-1．在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）若，，求的面积； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】 （1），,， ，， ，,又易知，，，； 因为，，，所以； （2）.，， ， 为锐角三角形， ，解得，，， ，所以周长的取值范围为 1-2．如图甲，在梯形中，，过点作且，将梯形沿折叠得到图乙.折叠后，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） （1）证明：取ED的中点G，连接FG、CG，因为点F是的中点，所以 又，过点B作且，所以， 所以，所以四边形BCGE是平行四边形，所以，又面，面，所以面. （2）解：取BD的中点O，连接CO、AO，因为，所以面， 又，所以面，又，，所以是正三角形，， 所以以O为坐标原点， OC所在的直线为x轴，以，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设，则，，，，，从而，，，. 设平面ACD的法向量为， 则令，得. 设平面AEB的法向量为， 则令，得. 设平面与平面所成的锐二面角为， 故，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 1-3．已知数列满足，． （1）求，； （2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式； （3）已知，求证：． 【答案】 （1），（2）证明见解析，（3）证明见解析 （1）因为数列满足，， 所以，． 即， （2） ． ∵，∴数列的各项均不为0， ∴，即数列是首项为，公比为的等比数列， ∴． （3）由（2）知． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $