第11讲 用表格、关系式、图象表示的变量间关系（讲义）-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（北师大版）

第11讲 用表格、关系式、图象表示的变量间关系 【题型导航】 目录 第11讲 用表格、关系式、图象表示的变量间关系 1 【基础知识点】 1 【重难点剖析】 2 【题型1 变量与常量】 2 【题型2 用表格表示的变量间的关系】 4 【题型3 用关系式表示的变量间的关系】 6 【题型4 用图象表示的变量间的关系】 8 【过关检测卷】 11 【基础知识点】 1 用表格表示变量之间的关系 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 特别说明：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量. 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量； 联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化． 3）从表格中寻找变化规律 （1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量； （2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化． （3）特点：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛； 特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 2用关系式表示变量之间的关系 1）表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法． 注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式； （2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来； （3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围． （4）关系式（解析式）法准确地反映了因变量与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的因变量的值，反之亦然； 2）利用关系式求值 根据关系式求值实际上就是求代数式的值． 注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程． 特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 3用图象表示变量之间的关系 1）图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法． 图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量之间关系的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值． 2）行程中的图象问题：在行程问题中，“速度与时间”图象和“路程与时间”图象是从两个不同的角度描述行程问题中变量之间的关系图象，注意区分． 3）从图象中获取信息 （1）借助于图象，可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值或当因变量取某一个值时，对应的自变量取什么值； （2）利用图象可以判断因变量的变化趋势； （3）利用图象上一系列的点所表示的自变量与因变量的对应值，还可以得到表示两个变量之间关系的表格或关系式． 特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 【重难点剖析】 【题型1 变量与常量】 例题：（2022春·八年级课时练习）半径是r的圆的周长为，下列说法正确的是（    ） A．C，r是变量，是常量 B．C是变量，2，r是常量 C．C是变量，π，r是常量 D．C，π是变量，2是常量 【变式训练】 1．（2022秋·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．金额 B．金额和数量 C．数量 D．单价 2．（2021秋·黑龙江黑河·八年级统考期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ）． A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【题型2 用表格表示的变量间的关系】 例题：（2022秋·江西九江·七年级统考期中）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：）之间有如下关系（其中）： 提出概念所用的时间x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 学