第2讲 复数的四则运算-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

学生版 ( 最 浓 的情 - ---- - ---- 金风玉露一相逢，便胜却人间无数 。（《 鹊桥仙 · 纤云弄巧 》 宋 · 秦观 ） ) 复数专题 第2讲 复数的四则运算 ( 思维导图- ----知识梳理 ) ( 脑洞( 常见 考 法) ：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 ) ( 思维导图- ---- 典型题型讲练 ) 题型一 复数的加减运算 ( 思维导图- ---- 方法 梳理 一、复数的加法 1 、 加法法则 ： 设 z 1 ＝ a ＋ b i， z 2 ＝ c ＋ d i( a 、 b 、 c 、 d ∈ R)是任意两个复数， 规定 z 1 ＋ z 2 ＝( a ＋ b i)＋( c ＋ d i)＝( a ＋ c )＋( b ＋ d )i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加 法 可以推广到多个复数相加的情形， 即 z 1 ＝ 1 ＋ b 1 i， z 2 ＝ a 2 ＋ b 2 i， z 3 ＝ a 3 ＋ b 3 i，…， z n ＝ a n ＋ b n i， 则 z 1 ＋ z 2 ＋…＋ z n ＝( a 1 ＋ a 2 ＋…＋ a n )＋( b 1 ＋ b 2 ＋…＋ b n )i. 2 、 加法运算律 ： 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的 z 1 、 z 2 、 z 3 ∈ C， 有 z 1 ＋ z 2 ＝ z 2 ＋ z 1 ，( z 1 ＋ z 2 )＋ z 3 ＝ z 1 ＋( z 2 ＋ z 3 )． 二 、 复数的减法 1 、 相反数 ： 已知复数 a ＋ b i( a ， b ∈ R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－ a － b i，使( a ＋ b i)＋(－ a － b i)＝0.其中－ a － b i叫 做 a ＋ b i的相反数． 2 、 减法法则 ： 规定两个复数的减法法则，设 z 1 ＝ a ＋ b i， z 2 ＝ c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R)是任意两个复数，则 z 1 － z 2 ＝( a ＋ b i)－( c ＋ d i)＝ ( a － c )＋( b ＋ d )i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． ) 类型1 直接进行加减运算 ( 围观( 典型例题) ：一叶障目，抑或胸有成竹 ) 例1.计算：＋(2－i)－. 例2.已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. ( 套路(举一反三 ) ：手足无措，抑或从容不迫 ) 1.－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________. 2.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. 3.计算：（1）； （2）已知，，求，． 类型2 需要设复数标准式的加减运算 ( 围观( 典型例题) ：一叶障目，抑或胸有成竹 ) 例1.设，（为虚数单位），且，则( ) A． B． C． D． ( 套路(举一反三 ) ：手足无措，抑或从容不迫 ) 1.设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________. 2.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________． 题型二 复数加减的几何意义 ( 思维导图- ---- 知识梳理 复数加法与减法的几 何 意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数 z 1 ＝ x 1 ＋ y 1 i( x 1 、 y 1 ∈ R) ， z 2 ＝ x 2 ＋ y 2 i( x 2 、 y 2 ∈ R)， 其对应的向量 ， ， 如图1，且 和 不共线，以 OZ 1 和 OZ 2 为两条邻边作平行四边形 OZ 1 ZZ 2 ， 根据向量的加法法则，对角线 OZ 所对应的向量 ， 而 所对应的坐标是( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 )，这正是两个复数之和 z 1 ＋ z 2 所对应的有序实数对． 2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数 与向量 等于 ）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注 意 】 （1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是 这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应 向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：|| z 1 |－| z 2 ||≤| z 1 ± z