圆的方程及性质课件-2023届高三数学一轮复习

圆的方程及性质 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (x－2)2＋(y－1)2＝5 D A C B B D 圆的定义 平面内到定点的距离___________的点的集合是圆，定点是圆心，定长是半径． 注：平面内动点P到两定点A，B距离的比值为λ，即eq \f(|PA|,|PB|)＝λ， ①当λ＝1时，P点轨迹是线段AB的垂直平分线； ②当λ≠1时，P点轨迹是圆． 圆的标准方程 设圆心坐标为C(a，b)，半径是r，则圆的标准方程为______________． 注：确定圆心位置的方法： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； ③两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，它的圆心为_____________，半径为______________．二元二次方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是_____________eq \b\lc\ (\a\vs4\al\co1(,,,,.)) 以A（ 为直径的圆的方程是： （x- 。 (－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2)) eq \r(\f(D2,4)＋\f(E2,4)－F) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝B≠0，,D2＋E2－4AF>0)) 圆的参数方程 圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcos θ，,y＝b＋rsin θ))(θ为参数)． 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 知识回顾 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． (2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－a))，半径为eq \f(1,2) eq \r(－3a2－4a＋4)的圆． (3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. (4)方程x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，D2＋E2－4F>0. 2.若过圆O：x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的切线，切点为A，B，则△APB的外接圆方程为______________． 解析　连接OA，OB，OP.由平面几何知识可知O，A，P，B四点共圆，故△APB的外接圆即为以OP为直径的圆，即圆心为C(2，1)，半径r＝eq \f(1,2)|OP|＝|OC|＝eq \r(5)，故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 求圆的方程 例1　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程． (2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________________________________________． 求圆的方程有两种方法 (1)几何法：即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)得到圆的方程． (2)待定系数法： ①根据题意选择方程的形式——标准形式或一般形式； ②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程． 练习1　已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2y＝2　　　　 B．x2＋y2＋2y＝2 C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1 【解析】　因为直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，所以直线mx＋y＋1＝0始终过圆的圆心(0，－1)，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆的半径r＝eq \f(|－1＋3|,\r(2))＝eq \r(2).所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1. (2)已知圆C与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，且圆心在直线y＝－4x上，求圆C的方程． 【解析】　方法一：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,（3－a）2＋（－2－b）2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4，,r＝2