6.2.3平面向量的数乘运算讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修第二册 第六章 平面向量专题一 -----平面向量的基本概念及运算 三、向量的数乘运算 （一）知识梳理 1.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下： ① ；②当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 . 2.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有： ① ；② ；③ . 特别地，有 ； . 3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ，向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量，以及任意实数，恒有 . 4.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 . （二）类型应用：向量的数乘运算 1．的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．对于非零向量、，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图所示，已知在中，D是的边AB上的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________. 5．已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)欲使和共线，试确定实数的值 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修第二册 第六章 平面向量专题一 -----平面向量的基本概念及运算 三、向量的数乘运算 （一）知识梳理 1.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下： ① ；②当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 . 2.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有： ① ；② ；③ . 特别地，有 ； . 3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ，向量线性运算的结果仍是 .对于任意向量，以及任意实数，恒有 . 4.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 . （二）类型应用：向量的数乘运算 1．的化简结果为（    ） A． B． C． D． 2．对于非零向量、，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图所示，已知在中，D是的边AB上的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则________. 5．已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)欲使和共线，试确定实数的值． 参考答案： 1．B 【分析】由平面向量的线性运算方法即可求得答案. 【详解】由题意，. 故选：B. 2．A 【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】对于非零向量、， 若，则，∴由向量共线定理可知， 若，则，不一定成立， ∴是的充分不必要条件， 故选：A 3．C 【分析】由向量的线性运算求解． 【详解】因为是中点， 所以 故选：C． 4．4 【分析】根据向量共线定理可得存在实数使，从而得到关于的方程组，进而可求出. 【详解】由题意可知与共线， 所以存在实数使， 因为不共线， 所以解得或， 因为向量与的方向相同，所以，即， 故答案为：4 5．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知得到，进而求解结论， （2）根据向量共线得到，进而求解结论． 【详解】（1）证明：，，， ，，且有公共点， 故，，三点共线； （2）解：和共线， 存在实数，使得， 且，可得． 学科网（北京）股份有限公司 $