5.1 导数的概念及其意义-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1　导数的概念及其意义 【考点梳理】 大重点一：变化率问题和导数的概念 考点一：瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 考点二　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 考点三　函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ 大重点二：导数的几何意义 考点四　导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 考点五　导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 规律总结： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型归纳】 题型一：函数的平均变化率 1．（2022秋·安徽滁州·高二校联考期中）已知函数，则y在上的平均变化率为（    ） A．0.82 B．8.2 C．0.41 D．4.1 2．（2021秋·四川凉山·高二统考期中）已知函数，则从2到的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2021·全国·高二专题练习）函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 题型二：瞬时变化率理解 4．（2022秋·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（　  　） A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒 5．（2022秋·北京海淀·高二校考期中）已知某物体运动的位移关于时间的函数为，则当时的瞬时速度是（    ） A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s 6．（2022秋·北京大兴·高二统考期中）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（    ） A． B． C． D． 题型三：导数（导函数）的理解 7．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）设函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．6 8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2022秋·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 题型四：导数定义中的极限的简单计算 10．（2022秋·广西玉林·高二统考期末）设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（    ） A． B．2a C． D．a 11．（2022秋·全国·高二期末）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（    ） A． B． C． D． 12．（2022秋·山