5.3.2.2 函数的最大(小)值-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2.2　函数的最大(小)值 【考点梳理】 考点一　函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 考点二　求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【题型归纳】 题型一：函数的最值与极值的关系 1．（2021·全国·高二）已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极小值 C．在处切线斜率取得最大值 D．在处取得最大值 2．（2021秋·河北石家庄·高二河北新乐市第一中）已知函数在（1，2）上有最值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）已知函数，以下结论中错误的是（    ） A．是偶函数 B．有无数个零点 C．的最小值为 D．的最大值为 题型二：不含参函数的最值问题 4．（2022秋·四川乐山·高二统考期末）已知函数，则函数在的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 6．（2022·全国·高二假期作业）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值． 题型三：含参函数的最值问题 7．（2022春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知函数，其中. (1)求函数的单调区间； (2)设，若对任意的，恒成立，求的最大值. 8．（2022秋·陕西西安·高二统考期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在上无零点，求实数a的取值范围. 9．（2022秋·四川凉山·高二统考期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求a的取值范围． 题型四：由函数的最值求参数问题 10．（2022秋·四川雅安·高二统考期末）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2022秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2022秋·湖北武汉·高二校联考阶段练习）若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：函数的单调性、极值和最值的综合问题 13．（2022春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知函数，． (1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若，存在两个极值点，，证明：． 14．（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 15．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第一中学校考阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 【双基达标】 一、单选题 16．（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（    ） A．1 B． C．0 D． 17．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．为函数的零点 B．为函数的极大值点 C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值 18．（2022秋·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（2022春·浙江·高二校联考阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）设函数，，若函数只有1个零点，则函数在上