6.1.1空间向量的线性运算-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

第六章 空间向量与立体几何 6.1.1空间向量的线性运算 目标导航 课程标准 重难点 1.了解空间向量的概念. 课标 2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. 要求 3.掌握空间向量共线向量定理. 重点 重点：向量的加、减、数乘运算. 难点 难点：共线向量定理的掌握及运用. 知识精讲 知识点01 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． (4)几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． 【即学即练1】（2022·广东肇庆·校考模拟预测）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 【即学即练2】（2022春·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 知识点02 空间向量的加法、减法与数乘运算 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 收尾相接收尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 知识点.空间向量的加法和数乘的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 【即学即练3】（2022春·湖南怀化·高二校考阶段练习）在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 共线向量及共线向量定理 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 【即学即练5】已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　） A． B． C． D． 【即学即练6】（2022·高二单元测试）如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线. 能力拓展 ◆考点01 空间向量的基本概念 【典例1】（2022春·北京·高二校考阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2022春·湖北咸宁·高二校考阶段练习）下列命题中，正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例3】（2022·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 【典例4】（2021春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． ◆考点02 空间向量的加法、减法与数乘运算 ◆类型1 空间向量的加法、减法与数乘运算 【典例5】（2022春·河南郑州·高二郑州市第一〇六高级中学校考阶段练习）在空间四边形 中，连接 ， ，若 是正三角形，且 为其重心，则（