第14讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第14讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题 【考点分析】 考点一：解三角形中角的最值及范围问题 ①利用锐角三角形，，求出角的范围 ②利用余弦定理及基本不等式求角的最值： 考点一：解三角形中周长的最值及范围问题 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【题型目录】 题型一：三角形角的最值及范围问题 题型二：三角形边周长的最值问题 题型三：三角形边周长的最值范围问题 【典型例题】 题型一：三角形角的最值及范围问题 【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【例3】锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 【例4】已知在锐角中，. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【题型专练】 1．在锐角三角形中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：三角形边周长的最值问题 【例1】已知的内角的对应边分别为，，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．6 【例2】设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若的面积为，则以下结论中正确的是（    ） A．取不到最小值2 B．的最大值为4 C．角C的最大值为 D．的最小值为 【例3】已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求： (1)求的值； (2)求的最大值. 【例4】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C． (1)求角C； (2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值. 【例5】三角形的内角的对边分别为， (1)求； (2)已知，求周长的最大值． 【题型专练】 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，则的最大值为______，此时内角A的值为______ 2.在平面四边形中，，，． (1)若，求的长； (2)求四边形周长的最大值． 3．在条件：①，②，③中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目． 已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，，而且__________； (1)求角B的大小； (2)求周长的最大值． 4.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 5.已知，，分别为三个内角，，的对边，． （1）求角； （2）若，求的周长的最大值． 题型三：三角形边周长的最值范围问题 【例1】在锐角中，内角所对的边分别为．若，，则的取值范围为_____________；的最大值为__________． 【例2】设的内角，，的对边分别为，，已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)． 【例3】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【例4】平面四边形ABCD中，，AB=2，则AD长度的取值范围________. 【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，现欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM，PN，其中M，N分别在边界AB，AC上，小径PM，PN与边界BC的夹角都是，区域PMB和区域PNC内部种郁金香，区域AMPN内种植月季花． (1)探究：观赏小径PM， PN的长度之和是否为定值？请说明理由； (2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最少？ 【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①； ②； ③． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ． (1)求角C； (2)若，求△ABC周长的取值范围． 【例7】在中为角所对的边，且. (1)求角的值； (2)若，求的取值范围. 【例8】在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【题型专练】 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，且的面积为，则的最小边长为2 C．若时，是唯一的，则 D．若时，周长的范围为 2．锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 3．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c