第13讲 解三角形中恒等式与不等式问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第13讲 解三角形中恒等式与不等式问题 【考点分析】 考点一：解三角形中常用恒等式 ①射影定理： ②三角形内角和定理：， 所以，同理，， ，同理，， ，同理，， 所以，同理，， ③正切恒等式： 考点二：解三角形中常见不等式关系 ①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件 ③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有 【典型例题】 【例1】在中，，，，，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3】的三边分别为a,b,c,若是锐角三角形,则（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选题）在中，角的对边分别为则下列关系恒成立的是（    ） A．若，则 B． C． D．若，则 【例5】（多选题）在中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例6】如图，已知△ABC内有一点P，满足． (1)证明：． (2)若，，求PC． 【例7】在锐角中，已知，其中分别是的内角的对边. (1)求角的大小； (2)试比较与的大小. 【例8】在中，求证： （1）； （2）. 【题型专练】 1．在中，内角A，B､C所对的边分别为a､b､c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若为非直角三角形，则 2．对于，有如下命题，其中正确的有（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若是锐角三角形，则不等式恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为钝角三角形 3．下列命题中是真命题的有（    ） A．存在，，使 B．在中，若，则是等腰三角形 C．在中，“”是“”的充要条件 D．在中，若，则的值为或 4．在中，下列说法正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，则 C．不存在满足 D．若，则 5．在中，角A，B，C所对的边外别为a，b，c，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C． D．若，则为钝角三角形 6．在中，内角，，的对边分别是，，，若，. （1）求角； （2）若为的角平分线，证明：. 7．在中，，且，，均为整数． (1) 求的大小； (2) 设的中点为，求证：． 8．在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）证明：； （2）求的最大值． 9．在中，角，，所对的边分别为，，，为的中点. （1）证明：. （2）已知，，，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 解三角形中恒等式与不等式问题 【考点分析】 考点一：解三角形中常用恒等式 ①射影定理： ②三角形内角和定理：， 所以，同理，， ，同理，， ，同理，， 所以，同理，， ③正切恒等式： 考点二：解三角形中常见不等式关系 ①任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. ②大边对大角，小边对小角，，所以在中的充要条件 ③在锐角中，一定有，即一个角的正弦值一定大于另一个角的余弦值，从而可以得到锐角中，一定有 【典型例题】 【例1】在中，，，，，则下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可． 【详解】解：对于A，，则，故A成立； 对于B，因为，所以，故B成立； 对于C，，则，故C成立； 对于D，，则，故D不成立. 故选：D. 【例2】已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件化简得出，设的外接圆半径为，根据求得的范围，然后利用不等式的性质判断即可. 【详解】的内角、、满足， 即， 即， 即， 即， 即，， 设的外接圆半径为，则， ，， ，C、D选项不一定正确； 对于A选项，由于，，A选项正确； 对于B选项，，即成立，但不一定成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 【例3】的三边分别为a,b,c,若是锐角三角形,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据是锐角三角形,令,然后逐项判断排除即可. 【详解】解:是锐角三角形,可令,,A错误; ,C错误; ,D错误; ,B正确. 故选:B 【点睛】本题考查